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1、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若 $B_{1} P //$ 平面 $A_{1} B M$ ，则P的轨迹长为．

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2、 $△ A B C$ 的三个内角 $A 、 B 、 C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 6 : 7$ ，则最小角的余弦值为．

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3、在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是平面 $A_{1} B C_{1}$ 内的一个动点，若 $B_{1} P = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、点P的轨迹长度为 $2 π$ B、直线 $B_{1} P$ 不可能与 $A_{1} B$ 垂直 C、直线 $B_{1} P$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、三棱锥 $P - B B_{1} C_{1}$ 的体积最大值为 $\frac{3 + \sqrt{6}}{2}$

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4、在 $△ A B C$ 中，设 $a = 6$ ， $c = 5$ ， $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 18$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的面积为12 B、 $△ A B C$ 外接圆的周长是 $\frac{25}{4} π$ C、若 $D$ 为 $A C$ 的中点，则中线 $B D$ 长度为 $\frac{\sqrt{97}}{2}$ D、 $△ A B C$ 内切圆的面积是 $\frac{5}{2} π$

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5、设向量 $\vec{a} = (k, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ，则下列叙述正确的是（）

A、若 $k = - \frac{1}{2}$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) // \vec{a}$ B、与 $\vec{b}$ 垂直的单位向量只能为 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ ， C、若 $k = 1$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、若 $k = 1$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{5} \vec{b}$

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6、下列有关复数 $z$ 的叙述正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = | z |^{2}$ B、若 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z$ 的虚部为 $- i$ C、若 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z^{2023}$ 为纯虚数 D、若 $1 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ （p， $q \in R$ ）的一个根，则 $q = - 5$

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7、如图，P为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当 $P A //$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{P C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向， $A B = 32 m$ ，则这幢建筑物的总高度为（）

A、 $(96 - 32 \sqrt{3}) m$ B、 $(96 - 32 \sqrt{6}) m$ C、 $(92 - 32 \sqrt{3}) m$ D、 $(92 - 32 \sqrt{2}) m$

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9、如图，矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 $O A B C$ 的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 3$ ， $O^{'} C^{'} = 1$ ．则平面四边形 $O A B C$ 的周长为（）

A、14 B、12 C、10 D、8

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10、符合下列条件的三角形有2个解的是（）

A、 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $c = 5$ B、 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $b = 6$ ， $A = \frac{π}{6}$ C、 $a = 2$ ， $c = 3$ ， $A = \frac{π}{6}$ D、 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $B = \frac{π}{6}$

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11、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A、若 $m // n$ ， $n \subset α$ ，则 $m // α$ B、若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $m \subset α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$

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12、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，点 $F$ 在边 $C D$ 上，且满足 $\overset{⃑}{A E} = \frac{1}{4} \overset{⃑}{A C}$ ， $\overset{⃑}{C F} = \frac{2}{3} \overset{⃑}{C D}$ ，则 $\overset{⃑}{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{12} \overset{⃑}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⃑}{B C}$ B、 $- \frac{1}{12} \overset{⃑}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⃑}{B C}$ C、 $\frac{1}{12} \overset{⃑}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⃑}{B C}$ D、 $- \frac{1}{12} \overset{⃑}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⃑}{B C}$

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13、已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 - 3 i$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、对于给定的数列 $\{c_{n}\}$ ，如果存在实常数 $p 、 q$ ，使得 $c_{n + 1} = p c_{n} + q$ 对于任意 $n \in N^{*}$ 都成立，我们称数列 $\{c_{n}\}$ 是“优美数列”．

(1)、若 $a_{n} = 2 n, b_{n} = 3 \cdot 2^{n}, n \in N^{*}$ ，数列 $\{a_{n}\} 、 \{b_{n}\}$ 是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数 $p 、 q$ ，若不是，请说明理由；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n} + a_{n + 1} = 3 \cdot 2^{n} (n \in N^{*})$ ．若数列 $\{a_{n}\}$ 是“优美数列”，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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15、考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）：
成绩
性别
合格
不合格
合计
男性
45
10

女性
30

合计

105

(1)、完成此表；

(2)、根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由.
参考公式：①相关性检验的临界值表：
$P (k^{2} \geq x_{0})$
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.10
$x_{0}$
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
②卡方值计算公式： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .其中 $n = a + b + c + d$ .

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $D A // C B$ ，且 $∠ P A B = 120 °$ ， $D A = P A = 2$ ， $A B = C B = 1$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $P C = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $P A$ 的中点.

(1)、求证： $B E //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上是否存在点 $K$ ，使得平面 $K E B$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P K}{K D}$ 的值；若不存在，说明理由.

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17、已知椭圆 $E$ 的中心在坐标原点，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在 $y$ 轴上，点 $P (- \frac{3}{2}, 1)$ 在 $E$ 上，长轴长与短轴长之比为 $2 : \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程．

(2)、设 $A$ 为 $E$ 的下顶点，过点 $B (0, 4)$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $E$ 相交于 $C, D$ 两点，且点 $C$ 在线段 $B D$ 上．若点 $M$ 在线段 $C D$ 上， $∠ A M D = 2 ∠ B A M$ ，证明： $| B C | \cdot | M D | = | B D | \cdot | C M |$ ．

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18、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上的值域.

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19、某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为 $4 %$ ，乙生产线的次品率为 $7 %$ ，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为．

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20、在正六棱锥 $P - A B C D E F$ 中， $A B = 2$ ， $P A = 2 \sqrt{5}$ ，则此正六棱锥的侧面积为；该正六棱锥的外接球的表面积为.

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成绩性别	合格	不合格	合计
男性	45	10
女性	30
合计			105

$P (k^{2} \geq x_{0})$	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.10
$x_{0}$	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635