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相关试卷

1、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = 2 + cos x + sin x$ ，且 $sin α + cos β = \sqrt{3}, cos α + sin β = 0$ ，则 $f (α + β) =$ .

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2、某公司有5名员工要去参加 $A, B, C$ 三项工作，每项工作都至少需要一人参加，且每人的精力只够参加一项工作，一共有种不同的安排方案.

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3、已知圆台 $O_{1} O_{2}$ ，其上底面圆 $O_{1}$ 的直径为2，下底面圆 $O_{2}$ 的直径为8，母线长为5，则该圆台的体积为.

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4、某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 的距离的倒数之和等于1的点 $P$ 的轨迹，如图所示，则（）

A、 $\sqrt{2} \leq |P F_{1}| \leq 2 + \sqrt{2}$ B、 $|P O|$ 的最小值为2 C、当点 $P$ 不在坐标轴上时，点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的外部 D、当点 $P$ 的坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ 时， $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 随着 $|x_{0}|$ 的增大而增大

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 3 x (a > 0)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象上不存在关于 $(0, - 1)$ 对称的两点 D、当 $f (x)$ 的极小值大于 $- 7$ 时， $a$ 的取值范围为 $(0, \frac{9}{4})$

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6、某汽车公司为了宣传 $A, B$ 两款新能源汽车，邀请8名业内人士试驾，就新款汽车的驾乘感受进行评分，最高分数为10分.试驾结束后，评分如下表：
A
9.9
9.5
9.6
9.4
9.7
9.8
9.9
9.7
B
9.7
9.5
9.8
9.7
9.7
9.9
9.8
9.6
下列说法正确的是（）

A、A，B两款汽车评分数据的众数相同 B、A，B两款汽车评分数据的中位数相同 C、若将评分数据乘以10，则新数据的方差为原数据的方差的10倍 D、A款汽车评分数据去掉一个最低分和一个最高分后所得数据的极差小于原数据的极差

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7、设函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x + cos x - \sqrt{\frac{x}{2}}$ ，则 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $E : \frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相等的焦距，离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则 $e_{2} - e_{1}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9、已知 $0 < a < 1 < b$ ，则（）

A、 $b^{a} < a^{b} < a^{a} < b^{b}$ B、 $a^{b} < a^{a} < b^{a} < b^{b}$ C、 $b^{b} < a^{b} < a^{a} < b^{a}$ D、 $a^{b} < b^{a} < a^{a} < b^{b}$

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10、已知动点 $P$ 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（）

A、 $16 - 4 π$ B、 $4 + π$ C、 $4 + 2 π$ D、 $12 - 2 π$

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11、已知两个不同的平面 $α, β$ ，一条直线 $m$ ，下列命题是假命题的是（）

A、若 $α$ $∥$ $β, m$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $β$ B、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $α$ $∥$ $β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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13、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x < 2\}, B = \{y \in N ∣ y = x^{3}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[0, 2)$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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14、已知 $a \in R, i$ 是虚数单位， $(a + 2 i) (a - 2 i) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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15、法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …， $a_{n}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， …， $b_{n} \in R$ ，则 $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) \geq {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})}^{2}$ ，当且仅当 $b_{i} = 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ 或存在一个数k，使得 $a_{i} = k b_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 时，等号成立．

(1)、请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明；

(2)、 $f (x) = \sqrt{x} + \sqrt{1 - 2 x}$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(3)、设P是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ 内的任意一点，点P到四个面的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ ， $d_{4}$ ，求 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} + d_{4}^{2}$ 的最小值．

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16、已知锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $2 \sin A \sin B \sin C = \sqrt{3} (\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A)$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，当 $△ A B C$ 的周长取最大值时，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $\frac{a^{2} - c^{2}}{b^{2}}$ 的取值范围．

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17、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为棱 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $A B_{1} //$ 平面 $D B C_{1}$ ；

(2)、令三棱锥 $A - B C_{1} D$ 的体积为 $V_{1}$ ．多面体 $A B D A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ ．

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18、已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是 $(4 \sqrt{3} - 4) km$ ， C地在A地的北偏西 $75 °$ 方向，A，C两地之间的距离是 $8km$ ，现要在B地的北偏东 $30 °$ 方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的 $\sqrt{3}$ 倍．

(1)、求B、C两地之间的距离；

(2)、求高铁站D到C地的距离．

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19、 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的单位向量，设 $\vec{O P} = 3 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ ．

(1)、计算 $|\vec{O P}|$ 的大小；

(2)、设向量 $\vec{a} = m \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{O P}$ 共线，求实数m的值；

(3)、是否存在实数n，使得 $\vec{O P}$ 与向量 $\vec{b} = \vec{e_{1}} + n \vec{e_{2}}$ 垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

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20、设 $z_{1}$ 是虚数， $z_{2} = z_{1} + \frac{1}{z_{1}}$ 是实数．则 $|z_{1} - 1|$ 的取值范围为．

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A	9.9	9.5	9.6	9.4	9.7	9.8	9.9	9.7
B	9.7	9.5	9.8	9.7	9.7	9.9	9.8	9.6