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相关试卷

1、已知直线 $l ： x + 2 y = 0$ 与直线 $m ： a x + 4 y + a = 0$ 平行，则 $l$ 与 $m$ 之间的距离为

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2、已知双曲线的方程是 $16 x^{2} - 9 y^{2} = - 144$ ，则该双曲线的渐近线方程为.

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3、已知一个正方体的外接球的体积为 $36 π$ ，则正方体的体积为.

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4、已知三角形三顶点 $A (0, 1), B (- 2, 0), C (2, 0)$ ，则 $A C$ 边上的高所在的直线方程为.

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5、若焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $m =$ （）

A、 $1$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6、手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
顾客年龄（岁）
20岁以下
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
5
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
13
27
12
1
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在 $[40, 60)$ 内且未使用手机支付的概率为（）

A、 $\frac{21}{50}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{23}{50}$ D、 $\frac{21}{25}$

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7、直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 5 = 0$ 与 $l_{2} : 4 x - 3 y - \frac{1}{3} = 0$ 的交点坐标为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(\frac{7}{3}, 3)$ C、 $(3, \frac{7}{3})$ D、 $(\frac{3}{7}, 3)$

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8、与向量 $\vec{d} = (12, 5)$ 平行的单位向量为（）

A、 $(\frac{12}{13}, \frac{5}{13})$ B、 $(- \frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ C、 $(\frac{12}{13}, \frac{5}{13})$ 或 $(- \frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ D、 $(\frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ 或 $(- \frac{12}{13}, \frac{5}{13})$

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9、已知直线l的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，且过点 $(1, 3)$ ，则它在y轴上的截距为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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10、直线 $x = \tan 60^{°}$ 的倾斜角为（）

A、60° B、90° C、120° D、150°

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11、甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为 $\frac{a}{2} (n^{2} - n + 2)$ 万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多 $a {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ 万元．

(1)、求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；

(2)、若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？

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12、我校南门有条长 $500$ 米，宽 $6$ 米的道路（如图 $1$ 所示的矩形 $A B C D$ ），路的一侧划有100个长 $5$ 米，宽 $2.5$ 米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度 $A M = d$ （米），停车位相对道路倾斜的角度 $∠ E^{'} A^{'} M = θ$ ，其中 $θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ .

(1)、若 $cos θ = \frac{3}{5}$ ，求 $E E^{'}$ 和 $E^{'} M$ 的长；

(2)、求 $d$ 关于 $θ$ 的函数表达式 $d (θ)$ ；

(3)、若 $d = 3$ ，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $\frac{1}{2} A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影为 $B C$ 的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B D - B_{1}$ 的正弦值.

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14、在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 A C$ ， $A D$ 是角 $A$ 的角平分线，且 $A D = k A C$ .
（1） $k$ 的取值范围为.
（2）若 $S_{△ A B C} = \frac{3}{2}$ ，当 $B C$ 最小时， $k$ 的值为.

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15、已知平行四边形 $A B C D$ 中， $|\vec{A B}| = 5$ ， $|\vec{A D}| = 4$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ .若点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{M B}$ ，点 $N$ 为 $A B$ 中点，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N} =$ .

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16、已知正四棱锥 $O - A B C D$ 的底面边长为 $\sqrt{6}$ ，侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $O C$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $60 ^{\circ}$ B、若点 $P$ 为正四棱锥 $O - A B C D$ 外接球的球心，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为4 C、若点 $M$ 在底面内（包含边界）运动， $N$ 为 $O D$ 中点，则当 $M N / /$ 平面 $O B C$ 时，点 $M$ 的轨迹长度为 $\sqrt{6}$ D、若以点 $O$ 为球心， $\sqrt{3}$ 为半径的球 $O$ 的球面与正四棱锥 $O - A B C D$ 的棱 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ， $O D$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，则多面体 $A B C D - E F G H$ 的体积为 $\frac{21}{4}$

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17、氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量 $N$ 随时间 $t$ （单位：年）的衰变规律满足关系式 $N = N_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{12.43}}$ ，其中 $N_{0}$ 表示氚原有的质量，则（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.301$ ）

A、样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为 $12.43$ 年； B、经过 $24.86$ 年后，样本中的氚元素会全部消失； C、经过 $62.15$ 年后，样本中的氚元素变为原来的 $\frac{1}{32}$ ； D、若 $x$ 年后，样本中氚元素的含量为 $0.4 N_{0}$ ，则 $x > 17$ .

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18、下列说法正确的是（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件，则 $P (A) + P (B) = 1$ ； B、数据36，28，22，24，22，78的第80百分位数为36； C、用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 $\frac{1}{51}$ ； D、若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的平均数为2，则 $3 x_{1} + 2 ， 3 x_{2} + 2 ， \dots ， 3 x_{n} + 2$ 的平均数为8.

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (1 + x) + f (1 - x) = f (x)$ ， $f (0) = 2$ ，则 $f (2022) + f (2024) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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20、抛掷一枚质地均匀的硬币 $n$ 次，记事件 $A =$ “ $n$ 次中既有正面朝上又有反面朝上”， $B =$ “ $n$ 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）

A、当 $n = 2$ 时， $P (A + B) = \frac{3}{4}$ B、当 $n = 2$ 时，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立 C、当 $n = 3$ 时， $P (A B) = \frac{3}{8}$ D、当 $n = 3$ 时，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立

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顾客年龄（岁）	20岁以下	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	70岁及以上
手机支付人数	3	12	14	9	5	2	0
其他支付方式人数	0	0	2	13	27	12	1