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相关试卷

1、已知事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = 0.2$ ， $P (B) = 0.5$ ，则下列结论错误的是（）

A、若A与B互斥，则 $P (A + B) = 0.7$ B、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A B) = 0.5$ C、若 $P (\bar{A} B) = 0.4$ ，则A与B相互独立 D、若A与B相互独立，则 $P (A + B) = 0.6$

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2、已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是（）

A、 $m ⊥ α, m ⊥ β \Rightarrow α / / β$ B、 $m ⊥ n, n ⊥ α \Rightarrow m / / α$ C、 $m ⊥ α, m \subset β \Rightarrow α ⊥ β$ D、 $m ⊥ α, n ⊥ α \Rightarrow m / / n$

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3、 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边， $B = \frac{π}{4}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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4、若甲组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ （数据各不相同）的平均数为3，方差为4，乙组样本数据 $2 x_{1} - a$ ， $2 x_{2} - a$ ， $\dots$ ， $2 x_{n} - a$ 的平均数为5，则下列说法错误的是（）

A、a的值为1 B、两组样本数据的样本极差不同 C、两组样本数据的样本中位数一定相同 D、乙组样本数据的标准差为4

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5、掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，另外一枚硬币反面向上的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6、已知复数 $z$ 满足 $z i = 2 + i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f (x y) - f (x) = f (y) + 1$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < - 1$ .

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并给出证明；

(3)、解不等式 $f (x - 2) + f (x) > - 2$ .

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8、已知二次函数 $f (x)$ 的最小值为1，且 $f (0) = f (2) = 3$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[2 a, a + 1]$ 上不单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $x \in [t, t + 2]$ ，试求 $y = f (x)$ 的最小值.

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9、2021年8月3日，旅居法国的中国大熊猫欢欢，在法国博瓦勒动物园顺利地产下了一对双胞胎，暂时取名为“棉花”和“小雪”.为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室 $A B C D$ 的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室 $A M P N$ ，使活动的空间更大.为不影响现有的生活环境，建造时要求点B在 $A M$ 上，点D在 $A N$ 上，且对角线 $M N$ 过点C，如图所示.已知 $A B = 6 m, A D = 4 m$ .设 $D N = x m$ （单位： $m$ ），矩形 $A M P N$ 的面积为 $y m^{2}$ .

(1)、写出y关于x的表达式，并求出x为多少米时，y有最小值；

(2)、要使矩形 $A M P N$ 的面积大于 $128 m^{2}$ ，则 $D N$ 的长应在什么范围内？

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10、已知函数 $f (x) = m + \sqrt{x + 2}$ ，若存在实数a， $b (a < b)$ ，使 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[a, b]$ ，则实数m的取值范围是．

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11、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别由下表给出，则方程 $g [f (x)] = 3$ 的解集为.
x 1 2 3
$f (x)$ 1 3 1
x 1 2 3
$g (x)$
3 2 1

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12、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})] > 0$ 成立，且 $f (4) = 2$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} > \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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13、函数 $y = \frac{x}{1 + x}$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最大值､最小值分别为（）

A、最大值为 $\frac{5}{4}$ ，最小值为 $\frac{2}{3}$ B、最大值为 $\frac{4}{5}$ ，最小值为 $\frac{2}{3}$ C、最大值为1，最小值为 $\frac{1}{3}$ D、最大值为 $\frac{4}{5}$ ，最小值为 $\frac{1}{3}$

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14、不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{2} < x < 3\}$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为（）．

A、 $\{x | x < - 2 或 x > \frac{1}{3}\}$ B、 $\{x |- 2 < x < \frac{1}{3}\}$ C、 $\{x |- \frac{1}{3} < x < 2\}$ D、 $\{x | x < - \frac{1}{3} 或 x > 2\}$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \{\begin{cases} 3 n - 1, n 为奇数 \\ {(- 2)}^{n}, n 为偶数 \end{cases}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{6} = 17$ B、 $a_{4} > a_{5}$ C、 $S_{5} = 42$ D、 $S_{6} > S_{5}$

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16、下列说法中正确的是（）

A、用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体 $m$ 被抽到的概率是 $12 %$ B、从装有 $3$ 个红球， $4$ 个白球的袋中任意摸出 $3$ 个球，事件 $A =$ “至少有 $2$ 个红球”，事件 $B =$ “都是白球”，则事件 $A$ 与事件 $B$ 是对立事件 C、数据 $13, 27, 24, 12, 14, 30, 15, 17, 19, 23$ 的第70百分位数是23.5 D、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的标准差为1，则数据 $3 x_{1} - 1, 3 x_{2} - 1, \dots, 3 x_{10} - 1$ 的标准差为9

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17、在Python编程语言中， $m \times n$ 数组可以看作是 $m$ 行、 $n$ 列的数表，第 $i$ 行、第 $j$ 列的数记为 $a [i, j]$ ，例如 $a [2, 3]$ 表示第2行、第3列的数．如果 $m \times n$ 数组中存在 $a [p, q]$ ，对任意的 $i, j (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ ，都有 $a [p, j] \geq a [p, q]$ ，且 $a [i, q] \leq a [p, q]$ 成立，则称该数组为“ $β$ 数组”，满足条件的 $a [p, q]$ 记为“ $β$ 数组”的“核”．

(1)、若 $2 \times 3$ 数组 $A$ 与 $3 \times 3$ 数组 $B$ 以数表形式表示如下：
判断数组 $A$ 与数组 $B$ 是否为“ $β$ 数组”，如果是，求出它的“核”；

(2)、已知数组 $C$ 是一个元素互不相同的 $3 \times 2$ 数组，元素 $c [i, j] \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $(i = 1, 2, 3, j = 1, 2)$ ，在数组 $C$ 是“ $β$ 数组”的条件下，求它的“核”是4的概率；

(3)、现将 $1, 2, 3, 4, \dots, n^{2} - 1, n^{2}$ 这 $n^{2}$ 个元素全部填入 $n \times n$ 数组 $D$ 中，满足是“ $β$ 数组”的全体构成一个集合 $M$ ，从集合 $M$ 中任取一个元素，记它的“核”为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B // C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B = P D = A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ． $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 上的点，点 $F$ 为棱 $A D$ 上的点，点 $G$ 为棱 $P B$ 上的点．

(1)、若 $E$ 、 $F$ 分别为棱 $P C$ ， $A D$ 的中点，证明： $E F //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $\frac{D F}{D A} = \frac{P G}{P B} = \frac{P E}{P C} = λ (λ \in (0, 1))$ ，当 $λ$ 取何值时，三棱锥 $C - E F G$ 体积取得最大．

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19、为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了50人，得到如下列联表：
正常
不正常
合计
患该疾病
7
18
25
未患该疾病
19
6
25
合计
26
24
50

(1)、记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 $p$ ，求 $p$ 的估计值；

(2)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ ．
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
$0.050$ $0.010$ $0.001$
$k_{0}$
$3.841$ $6.635$ $10.828$

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20、已知 $f (x) = {(\frac{m}{x} + 2 x)}^{4}$ （ $m \in R$ 为常数）．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $f (x)$ 的二项展开式中各项系数的和；

(2)、若 $f (x)$ 的二项展开式中常数项为24，求实数 $m$ 的值．

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	正常	不正常	合计
患该疾病	7	18	25
未患该疾病	19	6	25
合计	26	24	50

$P (χ^{2} \geq k_{0})$	$0.050$ $0.010$ $0.001$
$k_{0}$	$3.841$ $6.635$ $10.828$

x	1	2	3
$f (x)$	1	3	1
x	1	2	3
$g (x)$	3	2	1