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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = |x + a| + |x - 1|$ ， $a \in R$ ．
（1）当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解；
（2）对任意 $m \in (0, 3)$ ．关于x的不等式 $f (x) < m + \frac{1}{m} + 2$ 总有解，求实数a的取值范围．

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2、多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图，若场地边界曲线M分别由由两段同心圆弧 $\overset{⌢}{B C}, \overset{⌢}{A D}$ 和两条线段 $A B, C D$ 四部分组成，在极坐标系 $O x$ 中， $∠ A O D = ∠ B O C = \frac{7 π}{36}$ ， A､O､B三点共线. $A (20, \frac{7 π}{72})$ ，点C在半径为1的圆上.

(1)、分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；

(2)、若需设置一个距边界曲线M距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.
注： $\sin \frac{7 π}{72} \approx 0.3$ ， $\cos \frac{7 π}{72} \approx 0.95$

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3、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的长轴为双曲线 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的实轴，且椭圆C过点P（2，1）．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．

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4、灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、若满足 $P (X \geq n) \leq 0.6$ 的n的最小值为 $n_{0}$ ，求 $n_{0}$ ；

(3)、在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较 $n = n_{0} - 1$ 与 $n = n_{0}$ 哪种方案更优.

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5、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
（1）B的大小；
（2） $△ A B C$ 的面积．
条件①： $b^{2} + \sqrt{2} a c = a^{2} + c^{2}$ ；条件②： $a \cos B = b \sin A$ ．

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6、已知a，b， $c \in (1, + \infty)$ ，且 $a - \ln a = 2$ ， $b - \frac{1}{2} = \ln b + 2 \ln 2$ ， $c - \sin 1 = \ln c + \tan 1$ ，其中e是自然对数的底数，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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7、如图， $△ A B C$ 中 $A B = 1, A C = 3, ∠ B A C = 60 °$ ， AD为BC边上的中线，点E，F分别为边 $A B, A C$ 上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．

(1)、已知 $A F = 2$ ，请用 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 表示 $\vec{A G}$ ；

(2)、求 $\vec{A G} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，D是边BC上一点， $A B = A C$ ， $B D = 2$ ， $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D} = \frac{2}{3}$ ．
（1）求DC的长；
（2）若 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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9、如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

(1)、以r为变量，表示圆柱的表面积 $S_{柱}$ 和体积 $V_{柱}$ ；

(2)、当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

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10、已知复数 $z = 3 + m i (m \in R)$ ， $z_{1} = (1 + 3 i) z$ ，且 $z_{1}$ 为纯虚数．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、设 $z$ 、 $z^{2}$ 在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{O B}$ 上的投影向量的坐标．

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11、如图所示，隔河可以看到对岸两目标 $A, B$ ，但不能到达，现在岸边取相距 $4 k m$ 的两点 $C, D$ ，测得 $∠ A C B = 75^{°}, ∠ B C D = 45^{°}, ∠ A D C = 30^{°}, ∠ A D B = 45^{°}$ （ $A, B, C, D$ 在同一平面内），则两目标 $A, B$ 间的距离为 $k m$ .

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12、在 $△ A B C$ 中，若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ，则 $A =$ ．

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13、点 $O$ 在△ $A B C$ 所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A、若动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \sin B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \sin C}) (λ > 0)$ ，则动点 $P$ 的轨迹一定经过△ $A B C$ 的垂心； B、若 $\vec{O A} \cdot (\frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} - \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |}) = \vec{O B} \cdot (\frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} - \frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |}) = 0$ ，则点 $O$ 为△ $A B C$ 的内心； C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则点 $O$ 为△ $A B C$ 的外心； D、若动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \cos B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \cos C}) (λ > 0)$ ，则动点 $P$ 的轨迹一定经过△ $A B C$ 的重心.

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14、定义： $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 两个向量的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \times \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、 $λ (\vec{a} \times \vec{b}) = (λ \vec{a}) \times \vec{b}$ C、若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 $\vec{A B} \times \vec{A D}$ D、若 $\vec{a} \times \vec{b} = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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15、已知棱长均相等的四面体 $A - B C D$ 的外接球的半径为 $\sqrt{6}$ ，则这个四面体的棱长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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16、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 3, A C = 4, \cos A = \frac{5}{8}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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17、在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{E C}$ ，则 $\vec{E D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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18、设复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + 2 i) = 5$ ，则 $z =$ （）

A、2 B、 $1 + 2 i$ C、 $- 2$ D、 $1 - 2 i$

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19、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 是（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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20、已知 $\vec{m} = (1, x)$ ， $\vec{n} = (4, 2)$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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