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相关试卷

1、若 $\sin α + \cos α = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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2、为了了解参加运动会的1500名运动员的年龄情况，从中抽取了150名运动员的年龄进行调查，则下列说法正确的是（）

A、1500名运动员的年龄是总体 B、抽取到的150名运动员是样本 C、这个抽样方法可以采取随机数表法抽样 D、每个运动员被抽到的机会相等

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3、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1) ， \vec{b} = (k, 2) .$ 若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 4$ D、4

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4、小王为了了解现在人们的网购途径，随机对1000名市民进行走访调查，统计结果如图所示，下列表述错误的是（）

A、 $m = 7.0$ B、这1000名市民中，不在淘宝网购物的人数为545人 C、这1000名市民中，通过其他方式购物的人数超过100人 D、这1000名市民中，在京东商城购物的人数比在唯品会购物的人数多165人

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5、若 ${(x + 3 i)}^{2}$ 是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数 $x =$ （）

A、±3 B、±1 C、-1 D、3

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且 $E F ⊥ B P$ ，四边形ABCD为正方形， $P D = C D = 2$ .

(1)、证明： $B P ⊥ D F$ ；

(2)、求三棱锥 $F - B D E$ 的体积；

(3)、求二面角 $F - D E - B$ 的余弦值.

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7、为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组 $[30, 50)$ ，第二组 $[50, 70)$ ， …，第六组 $[130, 150]$ .整理数据得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；

(2)、若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在 $[50, 70)$ 和 $[110, 130)$ 内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在 $[110, 130)$ 内的概率.

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8、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\cos B = \frac{c + b}{2 a}$ .

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $C = \frac{3 π}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, x)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{c} = (- 3, - 2)$ ， $\vec{a} ∥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

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10、已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为．

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11、已知复数 $z = - i (1 + i)$ ，则 $|z| =$ .

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12、在 $△ A B C$ 中，D是BC的中点， $B C = 4$ ， $A D = \sqrt{11}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $A C = \sqrt{7}$ ，则 $A B = \sqrt{11}$ B、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{11}$ C、 $\vec{B A} \cdot \vec{C A} = 7$ D、若 $B = 2 C$ ，则 $A B = 3$

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13、Z国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨.2023年Z国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：
下列结论正确的是（）

A、2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多 B、2023年Z国没有从A国进口液化天然气 C、2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多 D、2023年Z国从B国进口的液化天然气一定比从D国进口的多

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14、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M，N，E，F分别在棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 上，且平面 $A M N ∥$ 平面 $E F D B$ ，下列结论正确的是（）

A、 $M N ∥ E F$ B、 $E F ∥ B D$ C、 $A N ∥ D F$ D、 $B E ∥$ 平面 $A M N$

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15、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B$ ， M是AB的中点，N是棱 $B_{1} C_{1}$ 上的动点，则直线 $M N$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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16、在矩形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$ ，且 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、3 B、1 C、2 D、4

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17、将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（）

A、甲分得黄球 B、甲分得白球 C、丙没有分得白球 D、甲分得白球，乙分得黄球

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18、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - \frac{9}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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19、已知直线 $l$ ， $m$ 及平面 $α$ ， $β$ ，且 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ l$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ l$ C、若 $m ∥ α$ ，则 $m ∥ l$ D、若 $m ∥ l$ ，则 $m ∥ α$

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20、 $\frac{2 - 2 i}{3 i + 4} =$ （）

A、 $\frac{1}{13} - \frac{7}{13} i$ B、 $\frac{2}{25} - \frac{14}{25} i$ C、 $\frac{2}{25} + \frac{14}{25} i$ D、 $- \frac{1}{25} + \frac{7}{25} i$

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