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相关试卷

1、下列大小关系正确的是（）

A、 $2^{\sqrt{2}} < 2^{\ln 2}$ B、 ${1.3}^{0.2} < {1.5}^{0.5}$ C、 $\log_{3} 3.1 < e^{- 0.1}$ D、 $\log_{2} 3 > \log_{4} 5$

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2、函数 $f (x)$ 满足对任意的 $x$ ， $y$ 均有 $f (x - y) \cdot f (y) = f (x)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则 $\frac{f (2)}{f (1)} + \frac{f (3)}{f (2)} + \frac{f (4)}{f (3)} + \dots + \frac{f (2024)}{f (2023)} =$ （）

A、4048 B、4046 C、2024 D、2023

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3、已知 $x > 1$ ， $y > 3$ ， $(x - 1) (y - 3) = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4、我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件 $A =$ “相邻区域颜色不同”，事件 $B =$ “区域1和3颜色相同”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5、函数 $y = 3^{x}$ 与 $y = 3^{2 - x}$ 的图象（）

A、关于 $x = \frac{1}{4}$ 对称 B、关于 $x = \frac{1}{2}$ 对称 C、关于 $x = 1$ 对称 D、关于 $x = 2$ 对称

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6、口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（）

A、20 B、26 C、32 D、36

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7、设全集 $U = \{0, 1, 3, 5, 7\}$ ，集合 $A$ 满足 $∁_{U} A = \{3, 5\}$ ，则（）

A、 $0 \notin A$ B、 $1 \in A$ C、 $2 \in A$ D、 $3 \in A$

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8、一个 $△ A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .

(1)、如果这个三角形为锐角三角形，且满足 $a^{2} - b^{2} = b c$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围；

(2)、若 $△ A B C$ 内部有一个圆心为P，半径为1的圆，它沿着 $△ A B C$ 的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.现用21米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种 $△ A B C$ 的围成方案，使得P经过的路程最大并求出该最大值.（说明理由）

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9、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D$ 是边长为2的正三角形，底面 $A B C D$ 为正方形，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点.

(1)、求证： $D M ⊥ P C$ ；

(2)、在线段 $P B$ 上是否存在一点 $Q$ 使得 $M Q //$ 平面 $P N C$ ，存在指出位置，不存在请说明理由.

(3)、求二面角 $B - P C - N$ 的正弦值．

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10、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $S$ ，且 $6 S = a (b + c)$ ．

(1)、若 $\sin B = \frac{2}{3}$ ，求 $\cos A$ ；

(2)、若 $a = 3, A = \frac{π}{3}$ ，求 $S$ ．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A B = P A = 2$ ，且直线PD与底面ABCD所成的角为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面PAC；

(2)、求点C到平面PBD的距离．

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12、某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)， [260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图：

(1)、求直方图中的 $x$ 的值

(2)、估计月平均用电量的众数和中位数，第80百分位数．

(3)、从月平均用电量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]内的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 $11$ 户居民，求从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？

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13、如图，几何体 $E - A B C D$ 是四棱锥， $△ A B D$ 为正三角形， $B C = C D = 2$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $M$ 为线段 $A E$ 的中点.则直线 $M D$ 与平面 $B E C$ 的位置关系为（填相交或平行）. $N$ 为线段 $E B$ 上一点，使得 $D, M, N, C$ 四点共面，则 $\frac{B N}{B E}$ 的值为.

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14、数据2，4，6，8，10，12，14，16，18，20的第70百分位数为．

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15、如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且 $B C = 2 A B = 2$ ， $B F \cap A E = O$ ，现将 $△ A B E$ 沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）

A、 $C F ⊥ O P$ B、存在点P，使得 $P E / / C F$ C、存在点P，使得 $P E ⊥ E D$ D、三棱锥 $P - A E D$ 的体积最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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16、下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A、已知 $A (2, 3), B (4, - 3)$ ，点 $P$ 在直线 $A B$ 上，且 $| \vec{A P} | = \frac{3}{2} | \vec{P B} |$ ，则 $P$ 的坐标为 $(\frac{16}{5}, - \frac{3}{5})$ ； B、已知 $O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆圆心， $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A O}, | \vec{A O} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ C、若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则 $P$ 是 $△ A B C$ 的垂心．

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17、设 $z, z_{1}, z_{2}$ 是复数，则（）

A、若 $| z | = 2$ ，则 $z^{2} = 4$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ C、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$ D、若 $z + \bar{z} = 0$ ，则 $z$ 为纯虚数

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18、已三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是以角 $A$ 为直角的直角三角形， $A B = A C = 2, P B = P C, P A = \sqrt{14}, O_{1}$ 为 $△ A B C$ 的外接圆的圆心， $\cos ∠ P A O_{1} = \frac{\sqrt{7}}{7}$ ，那么三棱锥 $P - A B C$ 外接球的半径为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$

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19、祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）

A、 $a = \frac{3 V}{h}$ ， $r = \frac{3 V}{π}$ ， $\frac{a}{r} = \frac{1}{π}$ B、 $a = \frac{3 V}{h}$ ， $r = \frac{3 V}{π h}$ ， $\frac{a}{r} = π$ C、 $a = \sqrt{\frac{3 V}{h}}$ ， $r = \sqrt{\frac{3 V}{π h}}$ ， $\frac{a}{r} = \frac{1}{\sqrt{π}}$ D、 $a = \sqrt{\frac{3 V}{h}}$ ， $r = \sqrt{\frac{3 V}{π h}}$ ， $\frac{a}{r} = \sqrt{π}$

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20、设 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，满足 $\vec{D O} = \frac{2}{3} λ \vec{A B} - \frac{1}{2} λ \vec{A C}, λ \in R$ ，若 $|\vec{B C}| = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、2 B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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