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相关试卷

1、某工厂每月最后1个工作日为本月“技术竞赛日”，竞赛获奖结果有四种：未获奖、三等奖、二等奖、一等奖，在以往的技术竞赛记录中随机抽取了200人，统计制成了如下获奖人次条形图.现有甲、乙、丙、丁4人要参加本月“技术竞赛日”的竞赛，以条形图中获奖情况的频率为每人获奖的概率.

(1)、估计在本月“技术竞赛日”的竞赛中，甲获一等奖且乙未获奖的概率；

(2)、若获三等奖、二等奖、一等奖所对应的奖金逐级增高，未获奖则没有奖金，估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率.

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2、一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于 $n^{2}$ ，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为．

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3、某班成立了 $A, B$ 两个数学兴趣小组， $A$ 组 $10$ 人， $B$ 组 $30$ 人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中， $A$ 组的平均成绩为 $130$ 分，方差为 $115$ ， $B$ 组的平均成绩为 $110$ 分，方差为 $215$ ．则在这次测试中全班学生方差为．

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4、已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是.

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5、如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式： $d = A sin (ω x + φ) + k (A > 0, ω > 0), - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（）

A、 $k = 5$ B、 $A = 10$ C、 $ω = \frac{2 π}{15}$ D、 $k = 10$

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A B = B C = 1$ ，三棱柱外接球的球心为 $O$ ，点 $E$ 是侧棱 $B B_{1}$ 上的一动点.下列说法正确的个数是（）
①直线 $A C$ 与直线 $C_{1} E$ 是异面直线；②若 $∠ A B C = 90 °$ ，则 $A_{1} E$ 与 $A C_{1}$ 一定不垂直；③若 $∠ A B C = 60 °$ ，则三棱锥 $E - A A_{1} O$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{18}$ ；④ 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积的最大值为 $12 π$ .

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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7、若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $3 \sqrt{2} + 4$

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8、已知一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{9}$ 满足： $x_{1} < x_{2} < x_{3} < \dots < x_{9}$ ，则去掉 $x_{5}$ 后，下列数字特征中一定变化的是（）

A、平均数 B、中位数 C、极差 D、方差

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9、寒假期间，甲、乙、丙、丁 $4$ 名同学相约到 $A, B, C, D$ 4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件 $A =$ “ $4$ 个人去的社区各不相同”，事件 $B =$ “甲独自去一个社区”，则 $P (A | B) =$ （）

A、 $\frac{3}{32}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{27}{64}$

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10、底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（）

A、 $\frac{26}{3}$ B、 $\frac{38}{3}$ C、13 D、26

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11、 $\sin 20 ° \cos 20 ° - \cos^{2} 25 ° =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{1}{2}$

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12、若 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ 、 $F_{2} (1, 0)$ ， $M$ 在椭圆 $E$ 上，且 $△ M F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 相交于P，Q两点，且 $4 k^{2} + 3 = 4 m^{2}$ ，求证： $△ O P Q$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为定值.

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14、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = k x$ .

(1)、 $F (x) = f (x) + \frac{a}{x}$ ，求 $F (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $f (x) = g (x)$ 有两个解，求 $k$ 的取值范围；

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15、树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表：
男生成绩：
分数段
$[100, 120]$
$(120, 140]$
$(140, 160]$
$(160, 180]$
$(180, 200]$
频数
8
12
20
55
25
女生成绩：
分数段
$[80, 100]$
$(100, 120]$
$(120, 140]$
$(140, 160]$
$(160, 180]$
$(180, 200]$
频数
5
15
10
30
35
5

(1)、①根据上述数据完成下列 $2 \times 2$ 列联表：
优秀
非优秀
合计
男生
女生
合计
②依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $(n = a + b + c + d)$ ，
$α$
$0.05$
$0.025$
$0.010$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$3.841$
$5.024$
$6.635$
$7.870$
$10.828$

(2)、以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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16、在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} \sin A - \cos A = 1$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、D为边BC的中点， $A D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (t, 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则实数 $t =$ ．

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18、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}$ 下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调减区间是 $(- \infty, 2)$ B、 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点 C、 $f (x)$ 只有一个零点 D、 $f (x) \geq a$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立时， $a$ 取值范围为 $(- \infty, - e]$

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19、湖南张家界是 $5 A$ 级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6．设 $A_{1} =$ “第一天去玻璃栈道”； $A_{2} =$ “第二天去玻璃栈道”； $B_{1} =$ “第一天去凤凰古城”； $B_{2} =$ “第二天去凤凰古城”，则（）

A、 $P (A_{2}| A_{1}) = 0.7$ B、 $P (A_{2}| B_{1}) = 0.3$ C、 $P (A_{2}) = 0.63$ D、 $P (B_{2}) = 0.37$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 n^{2} - n$ ，则下列结论成立的有（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列 B、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前100项和为10000 C、若 $a_{2} a_{3} = a_{1} a_{k}$ ，则 $k = 4$ D、若 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \frac{1}{a_{3} a_{4}} + \dots + \frac{1}{a_{n - 1} a_{n}} > \frac{8}{33}$ ，则 $n$ 的最小值为8

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分数段	$[100, 120]$	$(120, 140]$	$(140, 160]$	$(160, 180]$	$(180, 200]$
频数	8	12	20	55	25

分数段	$[80, 100]$	$(100, 120]$	$(120, 140]$	$(140, 160]$	$(160, 180]$	$(180, 200]$
频数	5	15	10	30	35	5

$α$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.870$	$10.828$

	优秀	非优秀	合计
男生
女生
合计