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相关试卷

1、下列说法正确的有（）

A、 ${(1 + 2 x)}^{7}$ 的展开式的第4项的系数是280 B、对于随机变量 $X$ ，若 $E (X) = 2$ ，则 $E (2 X - 2) = 2$ C、已知随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X > 0) = 0.6$ ，则 $P (0 < X < 2) = 0.4$ D、一组数据 $8, 9, 9, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21$ 的第60百分位数为14.5

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2、已知 $O$ 为坐标原点， $A (- 2, 0), \vec{a} = (1, 1), \vec{O P} = \vec{O A} + t \vec{a}, |\vec{O Q}| = 1$ ，则 $|\vec{P Q}|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、2

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3、已知奇函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x} > 0$ .若 $a = f (1)$ ， $b = - π f (- π), c = e f (e)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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4、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{m} + a_{p} = 2 a_{4} (n, m, p \in N^{*})$ ，则 $\frac{1}{m + 1} + \frac{4}{p}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、2

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5、某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（）

A、21 B、35 C、70 D、126

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6、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $m$ $∥$ $β$ B、若 $m$ $∥$ $α, n$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $n$ C、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $n, n ⊥ β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ D、若 $m \subset α, n \subset α, m$ $∥$ $β, n$ $∥$ $β$ ，则 $α$ $∥$ $β$

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7、若 $sin α + \sqrt{3} cos α = 1$ ，则 $cos (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、已知集合 $A = {x \in Z ∣ - 2 < x < 4}, B = \{x ∣ x^{2} + 2 x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 0]$ B、 $[- 2, 4)$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0\}$

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9、任意一个复数 $z$ 的代数形式都可写成复数三角形式，即 $z = a + b i = r (cos θ + isin θ)$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq 0, θ \in [0, 2 π)$ .棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为： $z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + isin θ_{1}), z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + isin θ_{2})$ ，则： $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [cos (θ_{1} + θ_{2}) + isin (θ_{1} + θ_{2})]$ .如果令 $z_{1} = z_{2} = \dots = z_{n} = z$ ，则能导出复数乘方公式： $z^{n} = r^{n} (cos n θ + isin n θ)$ .请用以上知识解决以下问题.

(1)、试将 $z = 3 - \sqrt{3} i$ 写成三角形式；

(2)、试应用复数乘方公式推导三倍角公式： $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 {sin}^{3} θ; cos 3 θ = 4 {cos}^{3} θ - 3 cos θ$ ；

(3)、计算： ${cos}^{4} θ + {cos}^{4} (θ + 120^{\circ}) + {cos}^{4} (θ - 120^{\circ})$ 的值.

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10、为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 $x$ （吨），一位居民的月用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0, 1), [1, 2), \dots, [8, 9)$ 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中 $0.4 a = b$ .

(1)、求直方图中 $a, b$ 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；

(2)、设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数；

(3)、若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准 $x$ （吨），估计 $x$ 的值.

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11、一条东西方向的河流两岸平行，河宽 $250 m$ ，河水的速度为向东 $2 \sqrt{3} k m / h$ .一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距 $250 \sqrt{3} m$ 的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 $6 k m / h$ ，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.

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12、抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为.

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13、如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为 .

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14、正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体 $A B C D E F$ 的棱长都是2（如图），则（）

A、 $B E / /$ 平面 $A D F$ B、直线 $B C$ 与平面 $B E D F$ 所成的角为60° C、若点 $P$ 为棱 $E B$ 上的动点，则 $A P + C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、若点 $P$ 为棱 $E B$ 上的动点，则三棱锥 $F - A D P$ 的体积为定值 $\frac{4}{3}$

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15、已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} = 70, s^{2} < 75$ B、 $\bar{x} = 70, s^{2} > 75$ C、 $\bar{x} = 70, s^{2} = 75$ D、 $\bar{x} < 70, s^{2} > 75$

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16、下列说法正确的是（）
①已知 $a, b, c$ 为三条直线，若 $a, b$ 异面， $b, c$ 异面，则 $a, c$ 异面；
②若a不平行于平面 $α$ ，且 $a \subset α$ ，则 $α$ 内的所有直线与a异面；
③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面；
④若 $△ A B C$ 在平面 $α$ 外，它的三条边所在的直线分别交 $α$ 于 $P 、 Q 、 R$ ，则 $P 、 Q 、 R$ ，三点共线．

A、①② B、③④ C、①③ D、②④

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17、已知圆锥的底面圆周在球 $O$ 的球面上，顶点为球心 $O$ ，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $24 π$ B、 $36 π$ C、 $48 π$ D、 $64 π$

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18、复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 $z = a + b i$ 对应复平面内的点Z，设 $∠ X O Z = θ$ ， $|O Z| = r$ ，则任何一个复数 $z = a + b i$ 都可以表示成： $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ 的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若 $0 \leq θ < 2 π$ ，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若 $z_{i} = r_{i} (\cos θ, + i \sin θ_{i}), i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot n$ ，则： $z_{1} \cdot z_{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot z_{n} = r_{1} r_{2} \cdot \cdot \cdot r_{n} [\cos (θ_{1} + θ_{2} + \cdot \cdot \cdot + θ_{n}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2} + \cdot \cdot \cdot + θ_{n})]$ ，特别地，如果 $z_{1} = z_{2} = \cdot \cdot \cdot z_{n} = r (\cos θ + i \sin θ)$ 那么 ${[r (\cos θ + i \sin θ)]}^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$ 这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：

(1)、求复数 $z = 1 + cos θ + isin θ, θ \in (π, 2 π)$ 的模 $|z|$ 和辐角主值argz（用θ表示）；

(2)、设 $n \leq 2024, n \in N$ ，若存在 $θ \in R$ 满足 ${(\sin θ + i \cos θ)}^{n} = \sin n θ + i \cos n θ$ ，那么这样的n有多少个？

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20、已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育项目情况统计如下：
体育锻炼目的情况（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天

10天
乙
10天
10天
5天
25天
假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为 $\frac{4}{7}$ ．

(1)、请将表格内容补充完整；（写出计算过程）

(2)、已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为 $\frac{1}{4}$ ，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为 $\frac{3}{4}$ ，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．

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体育锻炼目的情况（上午，下午）	（足球，足球）	（足球，羽毛球）	（羽毛球，足球）	（羽毛球，羽毛球）
甲	20天			10天
乙	10天	10天	5天	25天