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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线的左，右两支于 $P, Q$ 两点，若 $△ P Q F_{2}$ 为正三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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2、抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $A$ 为抛物线上一点，满足 $∠ A F O = \frac{2 π}{3}$ （ $O$ 为坐标原点）， $A K ⊥ l$ ，垂足为 $K$ ，若 $A K = 2$ ，则 $S_{△ A F K} =$ ．

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3、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 4, 0), \vec{b} = (- 1, x, y)$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ ．

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4、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = C D = 2, A C = B D = \sqrt{3}, A D = B C = \sqrt{5}, E, F, G, H$ 分别是线段 $A B, A C, C D, B D$ 上的点，且满足 $B C$ $∥$ 平面 $E F G H, A D$ $∥$ 平面 $E F G H$ ，则下列说法正确的是（）

A、四边形 $E F G H$ 为矩形 B、三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $|F G| + |G H| = \sqrt{5}$ D、四边形 $E F G H$ 的面积最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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5、已知点 $M (4, 1)$ ，若过点 $N (2, - 1)$ 的直线 $l$ 交圆 $C : x^{2} + y^{2} = 9$ 于 $A, B$ 两点， $R$ 是圆 $C$ 上的动点，则（）

A、 $|A B|$ 的最大值为6 B、 $|A B|$ 的最小值为4 C、 $\vec{R M} \cdot \vec{R N}$ 的最小值为-1 D、 $\vec{R M} \cdot \vec{R N}$ 的最大值为34

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3} = a_{1} - 4, S_{7} = 147$ ，则（）

A、 $a_{1} = 28$ B、 $a_{4} = 21$ C、数列 $\{a_{n}\}$ 为单调递减数列 D、 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 14$

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7、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $2 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 是椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 2$ 时，曲线 $C$ 是双曲线 C、若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $2 < t < 3$ D、若曲线 $C$ 是焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $2 < t < 4$

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8、已知直线 $l$ 过点 $P (- 2, 0)$ 交抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 于 $A, B$ 两相异点，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B^{'}$ ，过原点 $O$ 作直线 $A B^{'}$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，则 $Q$ 点的轨迹方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 (y \neq 0)$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 (y \neq 0)$ C、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1 (y \neq 0)$ D、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4 (y \neq 0)$

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9、斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2023} =$ （）

A、 $a_{2025}$ B、 $a_{2024}$ C、 $a_{2025} - 1$ D、 $a_{2024} - 1$

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10、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G$ 分别是 $A_{1} D_{1}, A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $F G$ （含端点）上的动点，当 $P$ 由点 $F$ 运动到点 $G$ 时，三棱锥 $A - C E P$ 的体积（）

A、先变大后变小 B、先变小后变大 C、不变 D、无法判断

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，过原点 $O$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$

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12、已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、以上都有可能

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13、已知平面 $α ⊥$ 平面 $β, α, β$ 的法向量分别为 ${\vec{n}}_{1} = (1, 2, 3), \vec{n_{2}} = (0, x, 2)$ ，则实数 $x =$ （）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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14、下列方程所表示的直线中，倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的是（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $x + 2 y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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15、命题“ $\exists x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 < 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 < 0$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 奇偶性并证明；

(2)、利用定义证明 $y = f (x)$ 在R上单调递增；

(3)、若存在实数 $x \in [1, 3]$ ，使得 $f (k \cdot 4^{x} - 3) + f (2^{x}) > 0$ 成立，求实数k的取值范围.

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17、为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质 $.$ 省环保局于 $2022$ 年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快， $2023$ 年 $2$ 月底测得蒲草覆盖面积为 $36 m^{2}$ ， $2023$ 年 $3$ 月底测得蒲草覆盖面积为 $48 m^{2}$ ，蒲草覆盖面积 $y ($ 单位： $m^{2})$ 与月份 $x ($ 单位：月 $)$ 的关系有两个函数模型 $y = k a^{x} (k > 0 ， a > 1)$ 与 $y = m x^{2} + n (m > 0)$ 可供选择．

(1)、分别求出两个函数模型的解析式；

(2)、若 $2022$ 年年底测得蒲草覆盖面积为 $20 m^{2}$ ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到 $810 m^{2}$ ？ $($ 参考数据： $lg 2 \approx 0.30 ， lg 3 \approx 0.48) .$

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18、已知正数 $x, y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则（）

A、 $8 x y \leq 1$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} \geq 12$ C、 $4 x^{2} + y^{2} \geq \frac{1}{2}$ D、 $x (y + 1) \leq \frac{1}{4}$

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19、函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 x + 3}$ 的值域是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{4}]$ C、 $(0, \frac{1}{4})$ D、 $(0, \frac{1}{4}]$

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20、一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了 $n$ 次.

(1)、已知质点每次向右移动的概率为 $p (0 < p < 1)$ .
①当 $p = \frac{1}{2}, n = 6$ 时，求质点最终回到原点的概率；
②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了 $n$ 次，分别求出当 $n = 3$ 和 $n = 5$ 时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小

(2)、现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为 $p_{1}$ 、共移动了3次、若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为 $p_{2}$ ，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分；若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数.
①请用含 $p_{1}, p_{2}$ 的式子表示该游戏得分的数学期望；
②若 $p_{1} + p_{2} = 1 ，$ 则当 $p_{1}$ 取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？

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