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相关试卷

1、函数 $f (x) = ln x - m x + 1$ ，若存在 $x \in (0, + \infty)$ ，使 $f (x) \geq 0$ 有解，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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2、已知 $α, β \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，且 $α sin α - β sin β < 0$ ，则（）

A、 $α < β$ B、 $α^{2} < β^{2}$ C、 $α > β$ D、 $α^{2} > β^{2}$

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3、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $d$ 为其公差，且 $S_{8} > S_{7} > S_{9}$ ，给出以下命题：① $d < 0$ ；② $|a_{8}| > |a_{9}|$ ；③使得 $S_{n}$ 取得最大值时的n为8；④满足 $S_{n} > 0$ 成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（）

A、①③ B、①③④ C、①②③ D、①②④

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4、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， M，N是 $C$ 上的两点，满足 $\vec{F_{2} N} = 3 \vec{F_{1} M}$ ，且 $F_{2} N = F_{2} M$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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5、函数 $y = x^{2} cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的导数为（）

A、 $y^{'} = 2 x cos (2 x - \frac{π}{3}) - x^{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y^{'} = 2 x cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 x^{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y^{'} = x^{2} cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 x sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $y^{'} = 2 x cos (2 x - \frac{π}{3}) + 2 x^{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$

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6、已知椭圆 $E$ 的焦距为8，且椭圆 $E$ 上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 $E$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{16} = 1$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，其中 $a_{6} , a_{10} $ 为方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 的两根，则 $a_{8} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8、已知三个向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (- 1, 0, 2), \vec{c} = (x, 2, 5)$ 共面，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9、已知函数 $f (x)$ 满足： $f (x + 1) = a {log}_{3} (x + 1)$ 且 $f (2) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (x)$ 的定义域为 $[2, + \infty)$ .
（i）求 $y = f (4^{x} - 2^{x})$ 的定义域；
（ii）若方程 $f (4^{x} + 1) - f (k \cdot 2^{x} + k) = x$ 有唯一实根，求实数 $k$ 的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = \frac{a - e^{x}}{1 + a e^{x}} (a > 0)$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、设 $g (x) = k x + 5 - 2 k$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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11、实行垃圾分类、保护生态环境人人有责.某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用 $x$ 年，则其所需维修保养费用 $x$ 年来的总和为 $(2 x^{2} + 10 x)$ 万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为 $y$ 万元.

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到52万元以上；

(2)、该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大？最大值是多少？（年平均盈利额 $= \frac{盈利总额}{使用年数}$ ）

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12、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 7) x^{m - 1}$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、在（2）的条件下，若 $g (x) = f (x) - a x - 3$ 在 $[1, 3]$ 上最大值为0，求实数 $a$ 的值.

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13、已知集合 $A = \{x |2 - a \leq x \leq 2 a\}$ ， $B = \{x |x < 4\}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = \frac{x}{| x | - 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递减 C、集合 $\{x ∣ f (x) = 1\}$ 的元素个数为2个 D、集合 $\{x |f (x) = \frac{a}{x}, a > 4\}$ 的元素个数为4

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15、已知正数a，b满足 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则（）

A、 $a + 2 b \geq 6$ B、 $a + b \geq \frac{3}{2} + \sqrt{2}$ C、 $a b \geq 2$ D、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 8$

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16、下列函数中，值域是 $(0, + \infty)$ 的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ B、 $y = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$ C、 $y = \frac{x + 2}{x + 1} (x \in (0, + \infty))$ D、 $y = ln (2^{x} + 1)$

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17、 $n$ 维向量是平面向量和空间向量的推广，对 $n$ 维向量 ${\vec{m}}_{n} = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n})$ $(x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，记 $f ({\vec{m}}_{n}) = 1 + x_{1} + x_{1} x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{n}$ ，设集合 $D ({\vec{m}}_{n}) = \{{\vec{m}}_{n}| f ({\vec{m}}_{n}) 为偶数\}$ .

(1)、求 $D ({\vec{m}}_{2})$ ， $D ({\vec{m}}_{3})$ ；

(2)、（i）求 $D ({\vec{m}}_{n})$ 中元素的个数；
（ii）记 $g ({\vec{m}}_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ，求使得 $\sum_{{\vec{m}}_{n} \in D ({\vec{m}}_{n})} g ({\vec{m}}_{n}) \leq 2025$ 成立的最大正整数 $n$ .

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18、设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} - 2 S_{n} = 1$ （ $n \in N^{*}$ ）．
（1）求证：数列 ${a_{n}}$ 为等比数列；
（2）若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{b_{n}}{2} + \frac{1}{a_{n + 1}}$ ．
① 求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；
② 是否存在正整数n，使得 $\sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 4 - n$ 成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

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19、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = e^{x - 1} + \frac{1}{3} f^{'} (1) x^{2} + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对于任意的 $x \in [- 1, 2], f (x) \geq m x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(2 c - \sqrt{3} a) cos B = \sqrt{3} b cos A$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为等腰三角形且腰长为2，求 $△ A B C$ 的底边长.

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