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相关试卷

1、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形，PA与底面垂直， $|P A| = 2$ ， $|A B| = 1$ ，动点M在线段PC上，则（）

A、不存在点M，使得 $A C ⊥ B M$ B、 $M B + M D$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{30}}{3}$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球表面积为5π D、点M到直线AB的距离的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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2、16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.
积化和差： $sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)], cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)]$ ， $sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)], cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)]$ ．
和差化积： $sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}, sin α - sin β = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}$ ， $cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}, cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}$ ．
运用上面的公式解决下列问题：

(1)、证明： ${cos}^{2} α - {sin}^{2} β = cos (α + β) cos (α - β)$ ；

(2)、若 $α + β + γ + ω = π$ ，证明： $sin (α + β) sin (α + γ) = sin α sin ω + sin β sin γ$ ；

(3)、若函数 $f (x) = \frac{sin x}{2} + \frac{sin 3 x}{4} + \frac{sin 5 x}{6} + \dots + \frac{sin 99 x}{100}, x \in (0, 2 π)$ ，判断 $f (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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3、已知函数 $f (x) = ln(\sqrt{1 + x^{2}} - x) + x^{3}$ ，函数 $g (x)$ 满足 $\forall x \in R, g (x - 4) + g (- x) = 0$ ，若函数 $h (x) = f (x + 2) - g (x)$ 恰有2025个零点，则所有零点之和为（）

A、 $- 4050$ B、 $- 4048$ C、 $- 2026$ D、 $- 2024$

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4、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} \geq 0$ ，记 $A_{n} = max \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}, B_{n} = min \{a_{n + 1}, a_{n + 2}, \dots\}, d_{n} = A_{n} - B_{n}$ .

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $2, 0, 2, 4, 2, 0, 2, 4, \dots$ ，是一个周期为4的数列（即 $\forall n \in N^{*}, a_{n + 4} = a_{n}$ ），直接写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 的值；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为周期数列，证明： $\exists n_{0} \in N^{*}$ ，使得当 $n > n_{0}$ 时， $d_{n}$ 是常数；

(3)、设 $d$ 是非负整数，证明： $d_{n} = - d (n = 1, 2, 3 \dots)$ 的充分必要条件为 $\{a_{n}\}$ 为公差为 $d$ 的等差数列.

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5、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ D A B = 90^{\circ}$ ， $A D = A B = 1$ ， $P D = \sqrt{2}, B C = 2$ .

(1)、如图1，在侧面 $P D C$ 内能否作一条线段，使其与 $A B$ 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；

(2)、如图2，若 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，证明： $C D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(3)、在（2）的条件下，E为棱 $A P$ 上的点，二面角 $A - B D - E$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，求异面直线 $B E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值.

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6、若直线 $y = a x + b$ 是曲线 $y = \frac{ln x}{x} (0 < x < e)$ 的切线，则 $\frac{b^{2}}{a}$ 的最小值是.

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7、若 $sin 2 (α + β) = 3 sin 2 γ$ ，则 $\frac{tan (α - γ + β)}{tan (α + γ + β)} =$ .

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8、已知函数 $f (x) = A sin (\frac{π}{3} x + φ) (A > 0, 0 < φ < π)$ 的图象经过点 $(0, \frac{\sqrt{6}}{2})$ ，将 $f (x)$ 的部分图象沿 $x$ 轴折成直二面角（如图所示），若 $M N = \sqrt{13}$ ，则（）

A、 $A = \sqrt{2}$ B、 $φ = \frac{2 π}{3}$ C、将 $f (x)$ 的图象向左平移2个单位即可得到函数 $y = A sin \frac{π}{3} x$ 的图象 D、函数 $y = {(f (x))}^{2}$ 的单调递减区间为 $[3 k - 2, 3 k - \frac{1}{2}] (k \in Z)$

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9、设P，A，B，C是球 $O$ 表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球 $O$ 的体积为 $\frac{125 π}{6}, P A = 3$ ，二面角 $A - B C - P$ 的大小为 $60^{°}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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10、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $(0, \sqrt{3})$ 在椭圆上，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于B、D两点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于A、C两点，且 $A C ⊥ B D$ ，当直线 $B D$ 的斜率为0时， $|B D| + |A C| = 7$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若P是该椭圆上的一个动点，求 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的取值范围；

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积的最小值.

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11、已知抛物线 $E : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $F$ 与点 $C$ 关于原点对称，过点 $C$ 的直线 $l$ 与抛物线E交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 和点 $C$ 在点 $B$ 的两侧），则下列命题正确的是（）

A、 $|B F| < 4$ B、若 $B F$ 为 $△ A C F$ 的中线，则 $|A F| = \frac{5}{2} |B F|$ C、存在直线使得 $|A C| = \sqrt{2} |A F|$ D、对于任意直线1，都有 $|A F| + |B F| > 2 |C F|$

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12、以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $2 π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} - 1 - (a + 1) x ln x}{x}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 有且只有1个极小值点，求 $a$ 的取值范围．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为正项数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 2 n + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + 3^{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ .

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 2$ ， $4 a_{2}$ ， $2 a_{3},$ ， $a_{4}$ 成等差数列.若 $b_{n} = a_{n} + 2 \cdot {(- 1)}^{n}$ ，且 $b_{n} < λ b_{n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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16、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，过原点的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，当 $P Q = F_{1} F_{2}$ 时，四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 面积为60，且 $△ P F_{1} Q$ 的周长为30，则 $C$ 的离心率大小为．

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17、已知点 $A (1, 1, 1)$ ，点 $B (2, 1, 0)$ ，则点 $P (1, - 1, - 1)$ 到直线 $A B$ 的距离为．

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18、已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ ，则（）

A、 $f^{'} (x) = \cos 2 x$ B、 $x = \frac{π}{4}$ 是 $f (x)$ 的一个极值点 C、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的平均变化率为1 D、 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的瞬时变化率为2

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19、已知点 $P$ 在圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上，点 $A (4, 0), B (0, 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A B$ 与圆相离 B、当 $∠ P B A$ 最大时， $|P B| = \sqrt{6}$ C、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离最大值为 $2 + \sqrt{2}$ D、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离最小值为 $2 - \sqrt{2}$

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20、点P是棱长为1的正方体 $A B C D - A B C_{1} D$ 的表面上一个动点，则下列结论中正确的（）

A、当P在平面 $C C_{1} D_{1} D$ 上运动时，四棱锥 $P - A B B_{1} A$ 的体积变大． B、当P在线段 $A C$ 上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、若F是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当P在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P F$ 长度的最小值是 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 的点P的轨迹长度为 $2 \sqrt{2} + π$

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