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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = k a^{x} - a^{- x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是奇函数，且 $f (1) > 0$ ．

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；

(3)、求不等式 $f (x^{2} + 2 x) + f (x - 4) > 0$ 的解．

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2、株洲市某路无人驾驶公交车发车时间间隔 $t$ （单位：分钟)）满足 $5 \leq t \leq 20$ ， $t \in N$ ．经测算，该路无人驾驶公交车载客量 $p (t)$ 与发车时间间隔 $t$ 满足： $p (t) = \{\begin{array}{l} 60 - {(t - 10)}^{2}, 5 \leq t < 10 \\ 60, 10 \leq t \leq 20 \end{array}$ ，其中 $t \in N$ ．

(1)、求 $p (6)$ ，并说明 $p (6)$ 的实际意义；

(2)、若该路公交车每分钟的净收益 $y = \frac{3 p (t) + 108}{t} - 10$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．

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3、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的值域.

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4、已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及其单调递增区间．

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5、已知集合 $A = {x | 2 a + 1 \leq x \leq 3 a + 5}$ ， $B = {x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 5}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、求下列各式的值：

(1)、 ${(\sqrt{2} - 1)}^{0} + 8^{\frac{1}{3}} + \log_{2} 3 \times \log_{3} 4$ ；

(2)、已知 $\sin (α + π) = \frac{3}{5}$ ，求 $\cos 2 α$ 的值．

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7、已知函数 $f (x) = - x^{2} - 4 x + 6$ ， $g (x) = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若对任意的 $x_{2} \in [3, 5]$ ，存在 $x_{1} \in [- \frac{3}{2}, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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8、若 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{2 \cos (π - α) - 3 \sin (π + α)}{4 \cos (- α) + \sin (2 π - α)} =$ .

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9、幂函数 $y = x^{\frac{1}{2}}$ 的定义域为.

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10、已知函数 $f (x) = \ln \frac{2 - x}{2 + x}$ ，则下列说法正确的是（　　）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 2)$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在定义域上是减函数 D、 $f (x)$ 为偶函数

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11、已知 $\sin α - \cos α = \frac{1}{5}$ ， $0 \leq α \leq π$ ，则下列选项中正确的有（）

A、 $\sin α \cos α = \frac{12}{25}$ B、 $\sin α + \cos α = - \frac{7}{5}$ C、 $\sin α = \frac{4}{5}$ D、 $\tan α = \frac{4}{3}$

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12、若 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - 2 a, x \leq 2 \\ \log_{a} (x^{2} - a x), x > 2 \end{array}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{4}, 1)$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、（1，2） D、 $(1, 2]$

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13、函数 $f (x) = \log_{3} x - \frac{2}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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14、设 $a = \sin 30 °$ ， $b = \cos 45 °$ ， $c = \sin 35 °$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 三者的大小关系是（　　）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b<c<a$

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15、已知角 $α$ 终边上一点 $P (4, - 3)$ ，则 $\tan α =$ （　　）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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16、已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（　　）

A、 $\exists \in R$ ， $x + 2 > 0$ B、 $\forall \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ C、 $\forall \in R$ ， $x + 2 > 0$ D、 $\exists \in R$ ， $x + 2 \geq 0$

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17、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{1, 3\}$ ， $B = \{3, 4, 5\}$ ，则集合 $A \cap B =$

A、 $\{3\}$ B、 $\{4, 5\}$ C、 $\{1, 2, 4, 5\}$ D、 $\{3, 4, 5\}$

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18、已知函数 $f (x) = a \ln x - 2 a x + \frac{x^{2}}{2} (a > 0)$ ．
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，且不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < λ (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，该椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆上动点 $M$ 与点 $F_{1}$ 的最大距离为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图，若直线 $l$ 与 $x$ 轴､椭圆 $C$ 顺次交于 $P, Q, R$ （点 $P$ 在椭圆左顶点的左侧），且 $∠ P F_{1} Q + ∠ P F_{1} R = π$ ，求 $△ R Q F_{1}$ 面积的最大值.

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的首项为1，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，证明：若 $\forall n \in N^{*}, \frac{2 b_{1}}{a_{1}} + \frac{2 b_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{2 b_{n}}{a_{n}} \geq 1$ .

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