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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆的左、右顶点， $P$ 为 $C$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $6$ B、 $|P F_{1}|$ 的最大值为 $3$ C、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率的乘积为 $- \frac{3}{4}$

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2、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，公差为d， $a_{10} < 0$ 且 $a_{10} + a_{11} > 0$ 则下列结论正确的有（）

A、 $d > 0$ B、 $S_{9} = S_{10}$ C、 $S_{19} < 0$ D、 $S_{20} > 0$

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3、小明为锻炼身体，增强体质，计划从假期第一天开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若小明打算用20天跑完98公里，则预计这20天中小明日跑步量超过6公里的天数为（）

A、8 B、9 C、4 D、5

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4、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交双曲线右支于 $M$ 点，若 $M F_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率为

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{2}$

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5、过点 $P (2, 3)$ 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$ C、 $x + y - 5 = 0$ D、 $x + y - 5 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$

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6、已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则 $E$ 的焦距等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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7、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{11} = 24$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8}$ 的值是（）

A、36 B、48 C、72 D、24

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8、中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出 $x$ 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本 $V (x)$ （单位：万元），已知当 $0 < x \leq 5$ 时， $V (x) = 125$ ；当 $5 < x \leq 20$ 时， $V (x) = x^{2} + 40 x - 100$ ；当 $x > 20$ 时， $V (x) = 81 x + \frac{1600}{x} - 600$ ，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.

(1)、已知2024年该型芯片生产线的利润为 $P (x)$ （单位：万元），试求出 $P (x)$ 的函数解析式；

(2)、请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.

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9、函数 $f (x) = lg (4 x - 1) + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域为．

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10、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点O为 $B D$ 的中点，且点P满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， $0 \leq μ \leq 1$ ，则点P的轨迹长度为1 B、若 $λ + μ = 1$ ，则 $A C_{1} ⊥ D_{1} P$ C、若 $λ = 1$ ， $μ = \frac{1}{2}$ ，则 $V_{P - A_{1} B D} = 2$ D、若 $λ = 1$ ， $0 \leq μ \leq 1$ 时，直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\cos θ \in [0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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11、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的增函数，且 $f (x - 1) < f (1 - 3 x)$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1]$ D、 $[- 1, \frac{1}{2})$

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12、已知 $k \in R$ ，若直线l： $y = k x + 1$ 经过点 $(1, 0)$ ，则直线l的倾斜角为.

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13、函数 $f (x) = ln (a x^{2} - 4 a x + 8)$ 定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 2)$ B、 $(- \infty, 0] \cup (2, + \infty)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

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14、已知 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} sin (- 2 x - \frac{π}{4}) + 2$ ．

(1)、 $f (x)$ 的对称轴方程；

(2)、 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、若方程 $f (x) - m + 1 = 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有解，求实数m的取值范围．

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15、函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{|x|} - x^{2} + 2$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知角 $α$ 和 $β$ 的终边关于 $x$ 轴对称，则（）

A、 $\sin α = - \sin β$ B、 $\tan α = \tan β$ C、 $\sin (\frac{π}{2} + α) = \cos β$ D、 $\cos (π - α) = \cos β$

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17、“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为 $4 \sqrt{3}$ ，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点， $\vec{F E}$ 的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程：

(2)、若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线 $y = k x + m$ 交圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 于不同的两点M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点 $D (0, - \frac{4}{m})$ 的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ⅱ）求 $△ O M N$ 面积的最大值．

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18、已知离心率为 $e_{1}$ 的椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 和离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0,$ $b_{2} > 0)$ 有公共的焦点，其中 $F_{1}$ 为左焦点， $P$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限的公共点．线段 $P F_{1}$ 的垂直平分线经过坐标原点，则 $2 e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为．

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19、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 7, S_{6} = 16$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9}$ 等于（）

A、9 B、11 C、13 D、25

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + a x, (x \leq 1) \\ a^{2} x - 7 a + 14, (x > 1) \end{matrix}$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ．
（1）求实数a的取值集合A；
（2）若 $a \in A$ ，且函数 $g (x) = 1 g [a x^{2} + (a + 3) x + 4]$ 的值域为R，求实数a的取值范围．

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