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1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A C, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A B = A C = 1$ ，点 $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - B$ 的大小.

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2、在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的方程为 $(a + 1) x - y + 4 a = 0, a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求过点 $(1, 0)$ 且与直线 $l$ 平行的直线方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ 相切，求 $a$ 的值.

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3、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为.

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4、若 $\vec{a} = (1, 0, 1), \vec{b} = (0, 2, 2)$ ，则 $sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ .

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5、如图所示，以长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $D$ 为坐标原点，过 $D$ 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\vec{D B_{1}}$ 的坐标为 $(3, 4, 2)$ ，则四棱锥 $B_{1} - A B C D$ 的体积为.

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6、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，且 $λ \in [0, 1], μ \in[0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $|A_{1} P| + |P B|$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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7、下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、“ $a = 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x + a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件 C、圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$ 与 $x$ 轴相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B| = 6$ D、圆 $C_{1} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系为内切

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8、下列说法命题正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，已知点 $A (2, 3, - 5)$ ， $B (0, - 2, - 2)$ ， $C (- 2, - 5, 1)$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 B、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (3, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 9, 0, 3)$ ，则 $l ∥ α$ C、已知 $\vec{a} = (0, 1, 4)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $P$ 为平面 $A B C$ 上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} + n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m + n = \frac{1}{2}$

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9、已知点 $O$ 是坐标原点，点 $M$ 是圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 1$ 上的动点，当动点 $P$ 在直线 $x + y + 4 = 0$ 上运动时， $|P M| + |P O|$ 的最小值为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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10、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, E$ 为 $C D$ 的中点，则点 $B$ 到平面 $A E C_{1}$ 的距离等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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11、如图，已知空间四边形 $O A B C$ ，其对角线为 $O B$ 、 $A C$ ， $M, N$ 分别是对边 $O A, B C$ 的中点，点 $G$ 在线段 $M N$ 上，且 $G N = 2 M G$ ，现用向量 $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，设 $\vec{O G} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 2$ 的圆心和半径分别是（）

A、 $(- 2, - 3), 2$ B、 $(2, - 3), 3$ C、 $(- 2, - 3), \sqrt{2}$ D、 $(2. - 3), \sqrt{2}$

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13、直线 $x - y + 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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14、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x +1, x \in [0, 2]$ ，函数 $g (x) = a x - 1, x \in [- 1, 1]$ ，对于任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1, 1]$ ，使得 $g (x_{2}) = f (x_{1})$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 3]$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3] \cup [3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$

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15、若直线 $l_{1} : x + 2 y = 0$ 与直线 $l_{2} : k x - y + 1 = 0$ 互相垂直，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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16、已知函数 $f (x) = \ln (a x + 2)$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 0$ B、 $- 1 \leq a < 0$ C、 $- 1 < a < 0$ D、 $a \geq - 1$

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17、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 8, A C = 6, ∠ B A C = 90 °$ ， D是BC边的中点， $∠ A_{1} C A = 45 °$ ．

(1)、求直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、求证： $A_{1} C / /$ 面 $A B_{1} D$ ．

(3)、一只小虫从点 $A_{1}$ 沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．

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18、在 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} - b^{2} - c^{2} + b c = 0$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值．

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19、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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20、已知复数 $z = (1 + i) m^{2} - 3 i m + 2 i - 1$ ， m为实数．

(1)、若z是纯虚数，求m的值；

(2)、若 $z > 2$ ，求m的值；

(3)、若 $m = 0$ ﹐求 $| \frac{z}{1 - i} |$ 的值．

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