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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， PD，BC的中点分别为 $E$ ， $F$ ， $P A = P D$ ， $A D = 2$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD.

(1)、证明： $C E //$ 平面PAF.

(2)、若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{20}$ ，求棱PB的长.

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2、已知抛物线 $M$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 为椭圆 $N$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，且 $N$ 的短轴长为4.

(1)、求 $N$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 且倾斜角为 $45 °$ 的直线 $l$ 与 $N$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段AB的中垂线与 $x$ 轴交于点 $E$ ，求 $△ A B E$ 的面积.

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3、某企业有甲，乙两条生产线，每条生产线都有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个流程，为了比较这两条生产线的优劣，经过长期调查，可知甲生产线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个流程的优秀率分别为0.9，0.9，0.8，乙生产线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个流程的优秀率分别为0.8，0.85，0.92.已知每个流程是否优秀相互独立.

(1)、求甲生产线的三个流程中至少有一个优秀的概率.

(2)、为了评估这两条生产线哪个更优秀，该企业对 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个流程进行赋分.当 $A$ 流程优秀时，赋30分，当 $A$ 流程不优秀时，赋0分；当 $B$ 流程优秀时，赋40分，当 $B$ 流程不优秀时，赋0分；当 $C$ 流程优秀时，赋50分，当 $C$ 流程不优秀时，赋0分.记甲生产线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 流程的赋分分别为 $X_{1}$ ， $Y_{1}$ ， $Z_{1}$ ，乙生产线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 流程的赋分分别为 $X_{2}$ ， $Y_{2}$ ， $Z_{2}$ ，计算 $E (X_{1}) + E (Y_{1}) + E (Z_{1})$ 与 $E (X_{2}) + E (Y_{2})$ $+ E (Z_{2})$ ，并据此判断甲、乙哪条生产线更优秀.

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4、数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为 $3 \times 5^{2} + 2 \times 5^{1} + 4 = 89$ .若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin A + b \sin B = c \sin C - \sqrt{3} b \sin A$ ，则 $C =$ .

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6、若双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与双曲线 $N$ ： $\frac{y^{2}}{m} - \frac{x^{2}}{m + 8} = 1 (m > 0)$ 的焦距相等，则 $N$ 的离心率为.

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7、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 3)$ 处的切线斜率为 $- 2$ C、 $\exists x \in (0, 1)$ ， $f (x) \leq f (\frac{1}{x})$ D、不等式 $f (x) + e x \ln x > 1.8$ 对 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立

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8、下列命题是真命题的是（）

A、若随机变量 $X ~ B (10, 0.2)$ ，则 $D (X) = 1.6$ B、若随机变量 $X ~ N (1, 4)$ ，则 $P (X < 0) = P (X > 2)$ C、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 与数据 $x_{1} + 1$ ， $x_{2} + 1$ ， $x_{3} - 1$ ， $x_{4} + 1$ ， $x_{5} + 1$ 的中位数可能相等 D、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 与数据 $x_{1} + 1$ ， $x_{2} + 1$ ， $x_{3} - 1$ ， $x_{4} + 1$ ， $x_{5} + 1$ 的极差不可能相等

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9、已知点 $P (4 m + 3, - 3 m - 4)$ ，若点 $Q$ 在圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上，则（）

A、点 $P$ 在直线 $3 x + 4 y + 7 = 0$ 上 B、点 $P$ 可能在圆 $C$ 上 C、 $|P Q|$ 的最小值为1 D、圆 $C$ 上至少有2个点与点 $P$ 的距离为1

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x} + 1, x \leq 1 \\ 2 |x^{2} - 6 x + 8|, x > 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 零点的个数为3或4，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, 6) \cup \{1\}$ C、 $(0, 1) \cup \{2\}$ D、 $(0, 1] \cup [2, 4]$

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11、将函数 $f (x) = \sin (2 ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若曲线 $y = g (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称，则 $g (x)$ 的最小正周期的最大值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{8}$

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ， $a = \log_{3} 2$ ， $b = \log_{0.25} 3$ ， $c = \log_{5} 2$ ，则（）

A、 $f (b) < f (c) < f (a)$ B、 $f (c) < f (a) < f (b)$ C、 $f (c) < f (b) < f (a)$ D、 $f (a) < f (c) < f (b)$

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13、如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为 $252 {πcm}^{3}$ ，则该杯子的高度为（）

A、12cm B、13cm C、14cm D、15cm

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14、已知 $\sin α = \tan β = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α \tan 2 β =$ （）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $- \frac{7}{12}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $- \frac{7}{24}$

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15、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} - 3 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、复数 $z = \frac{2 + i}{4 - i}$ 的实部为（）

A、 $\frac{6}{17}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{7}{17}$ D、 $\frac{7}{15}$

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17、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x| y = \sqrt{x - 2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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18、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b$ 是定义在 $[a, a + 2]$ 上的偶函数，又 $g (x) = f (x - 2)$ ，则 $g (- 2), g (3), g (2)$ 的大小关系为（）

A、 $g (- 2) > g (3) > g (2)$ B、 $g (3) > g (2) > g (- 2)$ C、 $g (2) > g (- 2) > g (3)$ D、 $g (2) > g (3) > g (- 2)$

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19、如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点， $O$ 为 $D E$ 的中点，满足 $A B = A C = 2 \sqrt{5}, B C = 4$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2.

(1)、求证： $A_{1} O ⊥$ 平面 $B C E D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 和平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值；

(3)、线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F$ 和 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{F C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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20、已知圆 $M : {(x + a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的圆心 $M$ 在直线 $y = x$ 上，且直线 $3 x + 4 y + 15 = 0$ 与圆 $M$ 相切.

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、设圆 $M$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 在圆 $M$ 内，且 $| P M |^{2} = |P A| \cdot |P B|$ .记直线 $P A, P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的取值范围.

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