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相关试卷

1、若 $4^{a} = 3^{b} = 24$ ，则（）

A、 $2 < a < \frac{5}{2}$ B、 $2 < b < 3$ C、 $\frac{3}{2 a} + \frac{1}{b} = 1$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{2}{3}$

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2、已知函数 $f (x) = 4^{x} + (a - 2) x \cdot 2^{x} - 2 a x^{2}$ 有4个不同的零点，则 $a$ 的取值可以为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- eln2$ D、0

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3、若 $\forall x > 0$ ， $x e^{x - 1} \geq x + \ln x + m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 0$ B、 $m \leq 1$ C、 $m \leq e$ D、 $m < e$

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4、已知 $a > b \geq 0$ 且 $\frac{6}{a + b} + \frac{2}{a - b} = 1$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为（）

A、12 B、 $8 \sqrt{3}$ C、16 D、 $8 \sqrt{6}$

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5、函数 $y = \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{4} - 1}}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6、设 $x \in R$ ，则“ $\cos x = 0$ ”是“ $x = \frac{π}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 为该抛物线上的动点，点 $E (0, - 1)$ ，则 $\frac{|P E|}{|P F|}$ 的最大值为．

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B / / D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点E为棱PC的中点．证明：

(1)、 $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ．

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9、函数 $y = \ln |x| - x^{2}$ 的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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10、拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 连续，在区间 $(a, b)$ 上可导，则存在 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，我们将 $x_{0}$ 称为函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的“中值点”．已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x^{2} - t x + 1$ ， $F (x) = f (x) - g (x)$ ．

(1)、求 $F (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的中值点的个数；

(2)、若对于区间 $(0, 1)$ 内任意两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| > |g (x_{1}) - g (x_{2})|$ 成立，求实数t的取值范围．

(3)、当 $t > 0$ 且 $t \neq 1$ 时，证明： $\frac{t - 1}{\ln t} - \ln t \geq 2 - 2 \ln 2$ ．

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11、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(\sqrt{2}, 1)$ ．直线 $y = k x + m$ 与椭圆C相切于点P（P在第一象限），直线 $y = k x - 1$ 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线OP的斜率为 $k_{0}$ ，求证： $k \cdot k_{0}$ 为定值；

(3)、求△PAB面积的最大值．

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12、已知各项均不为0的数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1} + 1}{4}$ ， $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $T_{n}$ ；

(3)、若对于任意 $n \in N^{*}$ ， $λ \cdot 2^{n - 8} + 2 \geq T_{n}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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13、在△ABC中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{b}{c} \cos B + \frac{b^{2}}{c^{2}} \cos C = 1$ ．

(1)、证明： $c^{2} = a b$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $π$ ，且 $a^{2} - 2 b^{2} = 4 \sin^{2} C$ ，求△ABC的面积．

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14、已知 $f (x) = a x - \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的图像在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若当 $x \in [1, e]$ 时， $f (x) > 0$ ，求a的取值范围．

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15、用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如 $[3] = 3$ ， $[1.2] = 1$ ， $[- 1.3] = - 2$ ．已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n}^{2} + a_{n}$ ，则 $[\frac{a_{1}}{2 + a_{1}} + \frac{a_{2}}{2 + a_{2}} + \dots + \frac{a_{2024}}{2 + a_{2024}}] =$ .

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16、在 $△ A B C$ 中， $B C = 1$ ， $A C = 2 A B$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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17、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ ，则两圆公共弦所在直线的方程为.

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{2}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ，过 $A C$ 中点 $M$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $N$ ．将 $△ A M N$ 沿直线 $l$ 翻折至 $△ A^{'} M N$ ，且点 $A^{'}$ 在平面 $B C M N$ 内的射影 $H$ 在线段 $B C$ 上，连接 $A H$ 交 $l$ 于点 $O$ ， $D$ 是直线 $l$ 上异于 $O$ 的任意一点，则（）

A、 $∠ A^{'} D H \geq ∠ A^{'} D C$ B、 $∠ A^{'} D H \leq ∠ A^{'} O H$ C、点 $O$ 的轨迹的长度为 $\frac{π}{6}$ D、直线 $A^{'} O$ 与平面 $B C M N$ 所成角的余弦值的最小值为 $8 \sqrt{3} - 13$

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19、数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} + 1$ B、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} + 1$ C、 $a_{n} = 2 |\sin \frac{n π}{2}|$ D、 $\{\begin{array}{l} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = 2 - a_{n} \end{array}$

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20、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上， $\vec{C B} = 4 \vec{F_{2} A}$ ， $B F_{2}$ 平分 $∠ F_{1} B C$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{33}}{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$

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