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相关试卷

1、已知直线l的一个方向向量为 $\vec{m} = (- 1, 6, - 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x, - 3, 1)$ ，若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、20 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 20$

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2、已知点 $A (3, 0)$ ，直线 $l : 3 x - 4 y + 1 = 0$ ，则点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为（）

A、3 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则 $m =$ （）

A、8 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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4、已知直线l的方程为 $x + 2 y - 1 = 0$ ，则过点 $A (2, 3)$ 且与l垂直的直线方程为（）

A、 $x + 2 y - 8 = 0$ B、 $x + 2 y - 7 = 0$ C、 $2 x - y - 1 = 0$ D、 $2 x - y - 4 = 0$

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5、在空间直角坐标系Oxyz中，点 $P (2, 1, 3)$ 关于原点成中心对称的点的坐标为（）

A、 $(- 2, - 1, - 3)$ B、 $(- 2, 1, - 3)$ C、 $(- 2, - 1, 3)$ D、 $(2, - 1, - 3)$

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6、已知 $2$ 、 $x$ 、 $8$ 成等比数列，则 $x$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $\pm 4$ D、 $5$

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7、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x + a$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对任意 $x > 0$ ，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求a的值；

(3)、若实数m，n满足 $m > n > 0$ ，证明： $\ln n + 1 < \frac{m \ln m - n \ln n}{m - n} < \ln m + 1$ .

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8、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点与 $F_{2}$ 重合，点G是C与E在第一象限的交点，且 $| G F_{2} | = \frac{5}{3}$ .

(1)、求E的方程.

(2)、设过点 $F_{2}$ 的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合.
（ⅰ）若l的倾斜角为45°，求 $\frac{| M N |}{| A B |}$ 的值；
（ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF₂的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，证明： $k_{3}$ 为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 的等差中项.

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ P B$ ， $A B = 4$ .

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $B D ⊥ P C$ ，且 $P C = 2 \sqrt{3}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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10、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = n a_{n} - \frac{n (n - 1)}{2}$ .

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{11}{9}$ .

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11、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $f (\frac{2}{3} α + \frac{π}{12}) = \frac{6}{5}$ ，求 $\cos (α - \frac{π}{4})$ 的值.

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12、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，O为坐标原点，以点 $F_{2}$ 为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为 $A F_{1}$ 的中点，若 $\vec{O B} \cdot \vec{B F_{2}} = 0$ ，则C的渐近线的斜率为.

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13、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} + a_{n} = 4$ ，则 $S_{6} =$ .

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14、若 $9^{a} = 4^{b} = 6$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ .

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15、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均是 $(0, + \infty)$ ， $x = 2$ 是 $f (x)$ 的唯一零点，且 $(x + 1) f^{'} (x) < f (x)$ ，则（）

A、 $2025 f (2023) > 2024 f (2024)$ B、 $f (1) > 0$ C、 $2026 f (2024) < 2025 f (2025)$ D、 $f (3) > 0$

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16、记等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，前n项积为 $T_{n}$ ，已知 $a_{1} > 1$ ， $a_{10} a_{11} > 1$ ， $(a_{10} - 1) (a_{11} - 1) < 0$ ，则（）

A、 $q \geq 1$ B、 $T_{21} < 1$ C、 $T_{n}$ 的最大值为 $T_{11}$ D、 $a_{10} + a_{11} > 2$

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17、某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（）

A、该公司2020—2024年快递业务量逐年上升 B、该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C、该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D、该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%

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18、已知过点 $A (a, 0)$ 可以作曲线 $y = (x - 1) e^{x}$ 的两条切线，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - e) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

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19、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $M$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $B M$ 上的动点，则下列式子的值为定值的是（）

A、 $\vec{A_{1} P} \cdot \vec{A_{1} B}$ B、 $\vec{A_{1} P} \cdot \vec{P B}$ C、 $\vec{A_{1} P} \cdot \vec{P M}$ D、 $\vec{A_{1} P} \cdot \vec{A_{1} M}$

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20、已知圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 144$ 与 $C_{2} : {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 4$ ，动圆M与圆 $C_{1}$ 内切，且与圆 $C_{2}$ 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{33} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{33} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{33} - \frac{y^{2}}{49} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{33} + \frac{y^{2}}{49} = 1$

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