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相关试卷

1、已知复数z满足 $(1 - z) i = 2$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $2 i$ D、2

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2、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}, A = \{1, 2, 3\}, B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $U$ B、 $\{1, 2, 4, 5\}$ C、 $\{3\}$ D、 $\emptyset$

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3、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 26, a_{10} = 21$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式和前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\{b_{n + 1} - b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{1} = 3 b_{1}, a_{3} = b_{3}$ .
（i）若集合 $M = \{n \in N^{*} ∣ λ (b_{n} + 1) < S_{n}\}$ 中恰有2个元素，求实数 $λ$ 的取值范围；
（ii）若对 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{b_{1} + 1}{b_{1} b_{2}} + \frac{b_{2} + 1}{b_{2} b_{3}} + \dots + \frac{b_{n} + 1}{b_{n} b_{n + 1}} > λ \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{b_{n + 1}}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，焦距为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程和离心率；

(2)、设 $A$ 为椭圆 $C$ 的右顶点.若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有唯一的公共点 $M$ （ $M$ 在第一象限），直线 $l$ 与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$ ，直线NA与直线OM交于点 $P (O$ 为原点），且 $S_{△ P O A} = \frac{3}{5} S_{△ N O A}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} D / /$ 平面 $B_{1} C E$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $B_{1} C E$ 的距离；

(3)、求平面 $C D D_{1} C_{1}$ 和平面 $B_{1} C E$ 夹角的余弦值.

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6、已知圆心为 $C (4, 2)$ ，且圆 $C$ 经过点 $A (2, 2)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $B (0, 4)$ 作圆 $C$ 的切线 $l$ ，求切线 $l$ 的方程.

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于点 $A$ ， $B$ .
（1）若 $α = \frac{π}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为；
（2）设弦 $A B$ 的中点为 $M$ ，且 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ .若过原点 $O$ 与点 $M$ 的直线的斜率不小于 $2 \sqrt{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为.

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8、“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世态丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是 $n$ 件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 $\frac{8}{9}$ .
（1）第 $n$ 层的货物的价格为万元：
（2）若这堆货物总价是 $81 - 153 {(\frac{8}{9})}^{n}$ 万元，则 $n$ 的值为.

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9、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点为 $M$ .

（1）设 $\vec{B A} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}, \vec{B B_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C M} =$ （用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示）；
（2）若 $B A = B C = B B_{1}$ ，且 $∠ A B C = ∠ A B B_{1} = ∠ B_{1} B C = 60^{°}$ ，则CM与BA所成角的余弦值为.

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10、已知直线 $l_{1} : x + 2 y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : 2 x + m y - 3 = 0$ 互相平行.
（1）实数 $m =$ ；
（2）直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离是.

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n} = \frac{2}{3} a_{n - 1} + 1 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，则 $a_{4} =$ .

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12、椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 上一点 $P$ 到一个焦点的距离等于3，则点 $P$ 到另一个焦点的距离是.

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13、已知向量 $\vec{a} = (3, - 1, 1), \vec{b} = (2, m, - 4)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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14、若直线的倾斜角为 $60^{°}$ ，则该直线的斜率为.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，直线 $y = x - \sqrt{6}$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = \frac{3}{2} (a_{n} + 1)$ 交于 $P_{n}, Q_{n} (n \in N^{*})$ 两点，且 $S_{n} = \frac{1}{4} {|P_{n} Q_{n}|}^{2}$ ．若存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $λ a_{n} < 2 n - 7$ 有解，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{81})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{27})$ D、 $(- \infty, \frac{3}{32})$

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B C D = 90^{°}, P A = P B = A B = 2$ ， $D C = B C = 1$ ，在平面 $A B C D$ 内过点 $D$ 作 $D O / / B C$ ，交AB于 $O$ ，连PO.设点 $E$ 是平面 $P O D$ 上的动点，若直线 $A E$ 与平面 $P B C$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $O E$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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17、青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，是一只内壁光滑的青花瓷大碗，碗口直径为20cm，碗深10cm．忽略瓷碗的厚度，瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线（如图2），则该拋物线的焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{5}{2} cm$ B、5cm C、10cm D、20cm

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = - 15, a_{4} = - 7$ ，则当 $S_{n}$ 取得最小值时， $n$ 的值为（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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19、若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 到其焦点的距离为5，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(2, \pm 2 \sqrt{2})$ B、 $(3, \pm 2 \sqrt{3})$ C、 $(4, \pm 4)$ D、 $(5, \pm 2 \sqrt{5})$

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20、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、内切 D、外切

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