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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = - \sqrt{2} x$ ，则 $m =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $8$ D、 $16$

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2、已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $\frac{1}{z}$ 的虚部为（）．

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{i}{2}$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

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3、若平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{μ_{1}} = (- 3, y, 1)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\vec{μ_{2}} = (6, - 2, z)$ 且 $α / / β$ ，则 $y + z =$ .

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4、直线 $l : x + y - 2024 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $-$ 1 B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5、已知函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = a^{x - 1} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且 $f (2) = 16$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{f (x) + 2}$ ，证明： $g (x) + g (1 - x) = 1$ ；

(3)、若函数 $y_{1} = |f (x) + m|$ 与 $y_{2} = |f (- x) + m|$ 在区间 $[1, 2]$ 上都是单调的，且单调性相同，求实数 $m$ 的取值范围.

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6、已知a为实数，函数 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = x - a$ ．

(1)、设 $k (x) = f (x) - g (x)$ ， $x \in [a - 1, a + 1]$ ，若函数 $k (x)$ 的最大值等于2，求a的值；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [- 1, 2]$ ，都存在 $x_{0} \in [- 1, 3]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{0})$ ，求a的取值范围；

(3)、设 $h (x) = f (x) + |g (x)| + 1$ ，求 $h (x)$ 的最小值．

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7、已知函数 $f (x) = - \frac{x}{x^{2} + 4}, x \in (- 2, 2)$ ．

(1)、用定义法证明 $f (x)$ 是减函数；

(2)、解关于t的不等式 $f (t - 2) + f (3 t - 4) \geq 0$ ．

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8、（1）已知 $5^{m} = 2$ ， $5^{n} = 3$ ，求 $5^{\frac{3 m - 2 n}{2}}$ 的值；
（2）化简： $4 a^{\frac{2}{3}} b^{- \frac{1}{3}} \div (- \frac{2}{3} a^{- \frac{1}{3}} b^{- \frac{2}{3}}) \times \frac{1}{6} a^{- \frac{1}{3}} b^{- \frac{1}{3}}$ .

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + x, x \geq 0 \\ - 2 x, x < 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (x)]}^{2} - (m + 1) f (x) + m < 0$ 恰有两个整数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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10、甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店.

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11、已知幂函数 $f (x)$ 满足 $\frac{f (4)}{f (2)} = 3$ ，则 $f (\frac{1}{8}) =$ .

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的不恒为零的函数，对于任意 $x, y \in R$ 都满足 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ D、若当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ，则 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 2 x, x \geq 0 \\ - 2 x + m, x < 0 \end{cases}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $f (- 1) = f (1)$ ，则 $m = - 3$ B、 $f (x)$ 存在最小值，则 $m \geq - 1$ C、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, 1]$ D、若 $f [f (- 2)] = - 2$ ，则 $m = - 6$

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14、在下列四个命题中，正确的是（）

A、若 $a c^{2} < b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b > 0, c < d < 0, | b | > | c |$ ，则 $\frac{b + c}{{(a - c)}^{2}} \geq \frac{a + d}{{(b - d)}^{2}}$ C、已知 $- 1 \leq a + b \leq 4, 2 \leq a - b \leq 3$ ，则 $\frac{9}{2} \leq 3 a - 2 b \leq \frac{19}{2}$ D、 $a, b, c$ 为互不相等的正数，且 $a^{2} + b^{2} = 2 b c$ ，则 $a c + b^{2} > a b + b c$

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15、已知函数 $f (x)$ 是三次函数且幂函数， $g (x) = \frac{f (x) + 2^{|x| + 1}}{2^{|x|}}$ ，则 $g (- 2023) + g (- 2022) + g (- 2021) + \dots + g (0) + \dots + g (2021) + g (2022) + g (2023) =$ （）

A、4047 B、8092 C、8094 D、9086

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16、函数 $f (x) = \sqrt{x - 3} + \frac{1}{1 + x}$ 的定义域为（）

A、 $[3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $[- 3, - 1) \cup (- 1, + \infty)$

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17、已知集合 $A = \{1, a\}$ ， $B = \{a^{2}, - 1\}$ ，若 $A = B$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、0 D、2

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}, A, B$ 分别是椭圆 $C$ 的上下顶点，过 $A$ 作两条互相垂直的直线 $A P, A Q$ ，分别交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求证：直线 $P Q$ 恒过定点；

(3)、求 $△ A P Q$ 面积的最大值.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a ln x, a \in R$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $y = f (x) + (a + 1) x$ 的最小值为0，求 $a$ 的值.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是梯形， $A B$ $∥$ $D C, A C ⊥ B D$ ， $P A = A C = 3, D C = 2 A B = 4$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求二面角 $D - P C - B$ 的正弦值.

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