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相关试卷

1、已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 32$ ，直线 $l : y = x$ ，若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，则 $b =$ .

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2、已知椭圆 $C$ ： $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ ，直线 $l$ ： $3 x - 2 y + m = 0$ ，（）

A、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有公共点，则 $- 6 \sqrt{2} \leq m \leq 6 \sqrt{2}$ B、若 $m = 10 \sqrt{2}$ ，则椭圆 $C$ 上的点 $P$ 到直线 $l$ 的最小距离为 $\frac{4 \sqrt{26}}{13}$ C、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度可能为6 D、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的中点在直线 $3 x + 2 y = 0$ 上

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3、下列从总体中抽得的样本是简单随机抽样的是（）

A、总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数 $r$ .若 $r = 0$ 或 $r > 75$ ，则舍弃，重新抽取 B、总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数 $r$ ， $r$ 除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75 C、总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数 $r$ ，把 $r + 6000$ 作为抽中的编号 D、总体编号为1～712，用 $R$ 软件的命令“sample（1：712，50，replace＝F”）得到抽中的编号

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4、若直线 $l_{1}$ ： $(a + 1) x + (a - 1) y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $6 x + a y + 3 = 0$ 平行，则实数 $a$ 可能为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sin π x, - 1 \leq x < 1 \\ - \frac{3}{2} f (x - 2), x \geq 1 \end{array}$ ， $g (x) = e^{x} - 1$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 的实根个数是（）

A、2 B、.3 C、4 D、5

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6、设空间两个单位向量 $\vec{O A} = (m, n, 0)$ ， $\vec{O B} = (0, n, p)$ 与向量 $\vec{O C} = (1, 1, 1)$ 的夹角都等于 $\frac{π}{4}$ ，则 $\cos ∠ A O B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{7 \pm 4 \sqrt{3}}{16}$ D、 $\frac{4 \pm \sqrt{6}}{16}$

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7、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，过点 $P (1, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.若点 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $x - 3 y + 2 = 0$ B、 $3 x - y - 2 = 0$ C、 $2 x - y - 1 = 0$ D、 $x - 2 y + 1 = 0$

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8、已知函数 $g (x) = \frac{f (x) + f (- x)}{2}$ ， $h (x) = \frac{f (x) - f (- x)}{2}$ ，且 ${[g (x)]}^{2} - {[h (x)]}^{2} = 1$ ，则函数 $f (x)$ 可能是（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = \log_{2} x$

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9、从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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10、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, - 2, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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11、若 $\frac{z}{z + 1} = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 + i$

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $\forall a, b \in [0, + \infty)$ ，且 $a \neq b$ ，都有 $\frac{a f (a) - b f (b)}{a - b} < 0$ 成立，则不等式 $t f (t^{2}) - (\frac{2}{t} + 1) f (t + 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$

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13、已知曲线 $E$ 上任意一点到点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离与到直线 $x = 2 \sqrt{3}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的方程.

(2)、若点 $P$ 在圆 $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 上， $P M$ ， $P N$ 为 $E$ 的两条切线， $M$ ， $N$ 是切点.
（i）求点 $P$ 的纵坐标的取值范围；
（ii）求 $△ P M N$ 的面积S的最大值.
附：若曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 的两条切线相交于点 $(x_{0}, y_{0})$ ，则两侧切点所在直线的方程为 $\frac{x_{0} x}{m} + \frac{y_{0} y}{n} = 1$ .

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14、已知直椭圆柱体是指底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图所示，直椭圆柱体的上下底面椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ ，高为椭圆短轴长度的 $\frac{1}{2}$ ，下底面长轴记为 $A B$ ，上底面长轴记为 $A_{1} B_{1}$ ．点 $E$ 为 $A B$ 上一点，过点 $E$ 在下底面内作 $A B$ 的垂线分别交下底面椭圆于点 $C$ ， $D$ ．记 $m = \frac{|A E|}{|B E|}$ ．

(1)、若平面 $A_{1} A D ⊥$ 平面 $A_{1} A C$ ，求 $m$ 及二面角 $C - A_{1} B - D$ 的余弦值；

(2)、若 $m$ 随变量 $t$ 的变化而变化，且 $t \geq 1$ ， $m = 1 - \frac{1}{2 t}$ ．记二面角 $C - A_{1} B - D$ 的大小为 $θ$ ，证明： $\frac{π}{2} < θ < \frac{5π}{6}$ ．

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15、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列且公比大于 $0$ ， $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 3$ ， $2 a_{3} = 5 (a_{5} - a_{4})$ ， $6 b_{3} = b_{5} - b_{4}$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {(- 1)}^{n - 1} (\frac{16 n}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}}) (n \in N^{*})$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

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16、《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图， $E A ⊥$ 平面ABCD， $F C ∥ E A$ ，四边形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = A E = 2$ ， $C D = C F = 4$ ．

(1)、证明：四面体BCFD为鳖臑；

(2)、求点C到平面BDF的距离；

(3)、求几何体ABCDEF的表面积．

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17、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角A，B，C的对边，且 $2 c \cos C = a \cos B + b \cos A$ ．

(1)、求C的大小；

(2)、若 $b = 3 a, c = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18、存在正数 $x, y, z,$ 使得不等式 $\sqrt{x} + \sqrt{3 y} + \sqrt{5 z} \geq m \sqrt{x + y + z}$ 成立，则 $m$ 的最大值是.

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19、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = d$ （ $n \in N^{*}$ ， $d$ 为常数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“调和数列”.已知数列 $\{b_{n}\}$ 为“调和数列”，下列说法正确的是（）

A、若 $\sum_{i = 1}^{20} \frac{1}{b_{i}} = 20$ ，则 $b_{10} + b_{11} = b_{10} b_{11}$ B、若 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{c_{n}}$ ，且 $c_{1} = 3$ ， $c_{2} = 15$ ，则 $b_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ C、若 $\{b_{n}\}$ 中各项均为正数，则 $b_{n + 1} \leq \frac{b_{n} + b_{n + 2}}{2}$ D、若 $S_{n}$ 为数列 $\{\sqrt{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $S_{n} < 2 \sqrt{n}$

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 外的动点 $P$ 作圆的两条切线，切点为 $A, B$ ，则下列结论正确的有（）

A、若点 $P (3, 4)$ ，则四边形 $O A P B$ 的面积是 $2 \sqrt{6}$ B、若点 $P (6, 8)$ ，则四边形 $O A P B$ 的外接圆方程是 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 10$ C、若点 $P$ 在直线 $4 x + 3 y - 12 = 0$ 上，则 $O, A, P, B$ 所在圆的直径的最小值是 $\frac{12}{5}$ D、当 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 取得最小值时，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $\sqrt{2}$

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