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相关试卷

1、随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为 $\frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ ，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为 $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，已知第1关的难度为“容易”．

(1)、求第3关的难度为“困难”的概率；

(2)、用 $P_{n}$ 表示第 $n$ 关的难度为“困难”的概率，求 $P_{n}$ ．

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2、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，侧面 $C D D_{1} C_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 和平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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3、在 $△ A B C$ 内，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b cos A - c cos B = (a - c) cos (A + C)$ ．

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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4、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} - a_{n + 1} + 2 = 0$ .

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 2}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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5、在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 为等腰三角形， $∠ A B C = 120 °$ ，且 $A C = P A$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C, P A ⊥ B C$ ，点 $Q$ 为三棱锥 $P - A B C$ 外接球 $O$ 上一动点，且点 $Q$ 到平面 $P A C$ 的距离的最大值为 $1 + \sqrt{7}$ ，则球 $O$ 的表面积为．

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6、 $e$ 是自然对数的底数， $m \in R$ ， $n > 0$ ，已知 $m e^{m} + \ln n > n \ln n + m$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、若 $m > 0$ ，则 $m - n > 0$ B、若 $m > 0$ ， $n > 1$ ，则 $e^{m} - n > 0$ C、若 $m < 0$ ，则 $m + \ln n < 0$ D、若 $m < 0$ ，则 $e^{m} + n > 2$

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $M$ 在 $C$ 上， $M N ⊥ l$ 于 $N$ ，直线 $N F$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{N A} = 2 \vec{A F}$ ，则（）

A、 $∠ M N F = 60^{\circ}$ B、 $|N F| = \frac{4}{3} p$ C、 $|M B| = \sqrt{3} |M N|$ D、 $\sin ∠ N A M = \frac{3 \sqrt{7}}{14}$

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8、一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 满足 $x_{i} - x_{i - 1} = 2 (2 \leq i \leq 10)$ ，若去掉 $x_{1}, x_{10}$ 后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（）

A、极差变小 B、平均数变大 C、方差变小 D、第25百分位数变小

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9、已知复数 $z = \cos \frac{2 π}{2023} + i \sin \frac{2 π}{2023}$ ，则 $(z - 1) (z^{2} - 1) \dots (z^{2022} - 1) =$ （）

A、2022 B、2023 C、 $- 2022$ D、 $- 2023$

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10、已知A，B，C，D是体积为 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ 的球体表面上四点，若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，且三棱锥A－BCD的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，则线段CD长度的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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11、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象过点 $(0, 1)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{8}, \frac{π}{4})$ 上具有单调性，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、4 C、 $\frac{16}{3}$ D、8

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2, n \in N^{*}$ .记数列 $\{\frac{a_{n} + 1}{(a_{n} + 3) (a_{n + 1} + 3)}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $k > T_{n}$ ，则实数k的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{10}, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{10}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{5}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{5}, + \infty)$

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13、已知 $a > b > 0$ ，设椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ．若 $e_{2} = 3 e_{1}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{5} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$

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14、已知在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $\vec{B D} = 5 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{5}{6} \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{4}{5} \vec{A C}$ D、 $\frac{4}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$

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15、已知集合 $A = \{x |\frac{1}{2} < 2^{x} < 2\}$ ， $B = \{x |y = \lg (x + 1)\}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1)$

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16、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x} + 1 (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：当 $x > 0$ 时， $x e^{e^{x}} > e (e^{x} - 1)$ .

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17、已知函数 $f (x) = x^{a} - \log_{b} x (a > 1, b > 1)$ 有且只有一个零点，则ab的取值范围为.

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18、在 $(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5)$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是.

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19、已知 $f (1 - x) = 4 x^{2} + 2 x + 1$ ，则 $f (\frac{3}{2}) =$ ．

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20、在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $C D = \sqrt{3} C C_{1} = \sqrt{3}$ ， $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上动点， $E$ ， $F$ 分别为 $A_{1} D_{1}$ 和 $B C$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{C P} = λ \vec{C B_{1}} (0 < λ < \frac{1}{3})$ ，则经过 $P$ ， $E$ ， $F$ 三点的直棱柱的截面为四边形 B、直线 $B_{1} C$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、三棱锥 $P - A_{1} D C_{1}$ 的体积为定值 D、 $A_{1} P + B P$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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