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相关试卷

1、将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销量就减少10个，为了争取最大利益，此商品的售价应定为多少元?

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2、设集合 $A = \{x | x^{2} - x - 6 >0\}, B = \{x | - 4 < 3 x - 7 <8\}$ .
(1)求 $A \cup B, A \cap B$ ；
(2)已知集合 $C = \{x | a < x <2 a + 1\}$ ，若 $C \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、已知 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、用定义法证明 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上是增函数.

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4、设函数 $f (x) = x^{2} -2 x + 3, x \in [0, 3]$ ，则该函数的值域为．

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5、函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ 的定义域为．

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6、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - x - 12}$ 的单调递减区间为.

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7、已知集合 $A = \{1, 3, 6\}$ ，则集合A的真子集个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8、定义：若对 $\forall k \in N^{*}, k \geq 2, a_{k - 1} + a_{k + 1} \leq 2 a_{k}$ 恒成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”．

(1)、若 $a_{n} = \sqrt{n^{2} - 1}$ ，判断 $\{a_{n}\}$ 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”，则当 $m \geq n + 2 (m, n \in N^{*})$ 时， $a_{m} + a_{n} \leq a_{m - 1} + a_{n + 1}$ ．
（ⅰ）若数列 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} \geq \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n}$ （ $n$ 为常数且 $n \geq 2, n \in N^{*}$ ），若 $\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_{i}^{2} - 1} \geq \sqrt{{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} - λ)}^{2} - 1}$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．

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9、设函数 $f (x) = x^{2} + a x - \ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1]$ 上是减函数，求实数a的取值范围；

(3)、过坐标原点O作曲线 $y = f (x)$ 的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.

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10、锐角 $△ A B C$ 中， $C = 2 B, B C$ 边上的高为4，则 $△ A B C$ 面积的取值范围为．

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ .若曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与其在点 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线相互垂直，则 $x_{1} - x_{2}$ 的一个取值为.

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12、设 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，若复数 $z$ 满足 $z^{2} + z + 3 = 0$ ，则 $z + \bar{z} =$ ．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} - x$ ，设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、存在实数 $a$ ，使得 $x_{2} - x_{1} > 1$ B、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{1} > 3$ C、存在实数 $a$ ，使得 $x_{3} - x_{2} > 3$ D、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{2} > 1$

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14、知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$

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15、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 8^{x}}{x \cdot a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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16、某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取 $100$ 份作为样本，发现得分均在区间 $[30, 90]$ 内 $.$ 现将 $100$ 个样本数据按 $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90]$ 分成 $6$ 组，得到如下频率分布直方图．

(1)、求出频率分布直方图中 $x$ 的值；

(2)、请估计样本数据的众数和平均数；

(3)、学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是 $77$ 分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．

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17、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{a}{3} x^{3} + b x^{2}$ ，其中 $a \geq 0, b \geq 0$ ．

(1)、当 $a = 0, b = 0$ 时，
①若 $x \leq 3$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
②若直线 $l$ 是曲线 $f (x)$ 的切线，且 $l$ 经过点 $(t, 0)$ ，证明： $| t | \geq 2$ ；

(2)、当 $b > 0$ 时，若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．

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18、若抛物线 $y^{2} = m x$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点重合，则实数 $m$ 的值为．

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19、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 3$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n + 1} > a_{n}$ B、当 $a_{1} = 1$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n + 1} > a_{n}$ C、当 $a_{1} \in (2, 3)$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n} \leq 3$ D、当 $a_{1} \in (3, 4)$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n} < 3$

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20、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求该样本的第80百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在 $[60, 80)$ 内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在 $[60, 70)$ 内，另一人成绩在 $[70, 80)$ 内的概率.

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