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相关试卷

1、有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为 $a$ ， $b$ ，若事件“点 $P (a, b)$ 恰好落在直线 $x + y = n$ 上”对应的随机变量为 $X$ ， $P (X = n) = P_{n}$ ， $X$ 的数学期望和方差分别为 $E (X)$ ， $D (X)$ ，则（）

A、 $P_{6} = 3 P_{4}$ B、 $P (5 \leq X \leq 7) = \frac{7}{9}$ C、 $E (X) = 5$ D、 $D (X) = \frac{4}{3}$

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2、已知随机变量 $X$ 的分布列如下：
$X$
1
2
$P$
$a$
$b$
则 $E (X) = \frac{4}{3}$ 是 $D (X) = \frac{2}{9}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、 $(x^{2} + 2 x + 3) {(2 x + 1)}^{6}$ 的展开式中，x²的系数是（）

A、250 B、520 C、205 D、502

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4、设离散型随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
0.15
0.15
0.15
0.25
m
若随机变量 $Y = X - 2$ ，则 $P (Y = 2)$ 等于（　　）

A、0.3 B、0.4 C、0.6 D、0.7

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5、根据分类变量 $x$ 与 $y$ 的观测数据，计算得到 $χ^{2} = 3 .974$ .依据 $α = 0 .05$ 的独立性检验，结论为（）
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

A、变量 $x$ 与 $y$ 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0 .01$ B、变量 $x$ 与 $y$ 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0 .05$ C、变量 $x$ 与 $y$ 独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0 .05$ D、变量 $x$ 与 $y$ 独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0 .01$

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6、设 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的无穷数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $\sqrt{a_{n} \cdot a_{n + 2}} = a_{n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 都成立，且 $2 S_{n + 1} = S_{n} + 2$ .
①求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
②已知首项为 $x_{1}$ ，公比 $q$ 满足 $|q| < 1$ 的无穷等比数列 $\{x_{n}\}$ ，当 $n$ 无限增大时，其前 $n$ 项和无限趋近于常数 $\frac{x_{1}}{1 - q}$ ，则称该常数为无穷等比数列 $\{x_{n}\}$ 的各项和.现从数列 $\{a_{n}\}$ 中抽取部分项构成无穷等比数列 $\{b_{n}\}$ ，且 $\{b_{n}\}$ 的各项和不大于 $\frac{1}{15}$ ，求 $b_{1}$ 的最大值.

(2)、若 $\sqrt{a_{n} \cdot a_{n + 2}} \geq a_{n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 都成立，试证明： ${(a_{1} a_{n + 2})}^{\frac{1}{2}} \geq {(a_{2} a_{3} \dots a_{n + 1})}^{\frac{1}{n}}$ .

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，所有棱长都相等， $A B ⊥ A D$ ， $E ， F$ 分别是棱 $P C$ ， $P B$ 的中点， $G$ 是棱 $A B$ 上的动点，且 $\vec{A G} = λ \vec{A B}$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，证明： $G F$ $//$ 平面 $B D E$ .

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $P D G$ 夹角余弦值的最大值.

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 ln x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) - f^{'} (x) - \frac{9}{x}$ 的单调区间和极值．

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9、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左右焦点，过 $F_{1}$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 的切线与椭圆 $C$ 在第二象限交于点 $M$ ，且 $\cos ∠ F_{1} M F_{2} = - \frac{3}{5}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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10、对于函数 $y = f (x)$ ，如果对于其定义域 $D$ 中任意给定的实数 $x$ ，都有 $- x \in D$ ，并且 $f (x) \cdot f (- x) = 2$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“比翼函数”.则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 2}$ 是“比翼函数” B、若函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上为“比翼函数”，则 $f (0) = \sqrt{2}$ C、若函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上为“比翼函数”，当 $x > 0$ ， $f (x) = \frac{2}{2^{x} + x^{2}}$ ，则 $x < 0$ ， $f (x) = 2^{- x} + x^{2}$ D、若函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上为“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在 $R$ 上是单调递减函数，记 $H (x) = \frac{2}{f (x)} - f (x)$ ，若 $H (x_{1}) + H (x_{2}) > 0$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 0$

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11、如图，在正四面体 $P - A B C$ 中， $A B = 18, D, E, F$ 分别为侧棱 $P A, P B, P C$ 上的点，且 $A D = B E = C F = \frac{1}{2} P D$ ， $G$ 为 $E F$ 的中点， $Q$ 为四边形 $E B C F$ 内（含边界）一动点， $A Q = 6 \sqrt{7}$ ，则（）

A、 $A G ⊥ P B$ B、五面体 $A B C - D E F$ 的体积为 $342 \sqrt{2}$ C、点 $Q$ 的轨迹长度为 $6 π$ D、 $A Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值为 $\sqrt{6}$

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12、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}$ 的平均数为10，方差为1，且 $y_{i} = 2 x_{i} + 4 (i = 1, 2, \dots, 6)$ ，则下列说法正确的是（）

A、数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{6}$ 的方差为4 B、数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{6}$ 的平均数为17 C、数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}, 10$ 的平均数为10，方差大于1 D、若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}$ 的中位数为 $m, 75 %$ 分位数为 $n$ ，则 $m < n$

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13、圆O半径为1， $P A, P B$ 为圆O的两条切线，A，B为切点，设 $∠ A P O = α$ ，则 $\frac{2 S_{▵ P A B}}{\tan 2 α}$ 最小值为（）

A、 $- 4 + \sqrt{2}$ B、 $- 3 + \sqrt{2}$ C、 $- 4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $- 3 + 2 \sqrt{2}$

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14、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左右焦点， $P$ 为其左支上一点，且 $2 |P F_{2}| = 3 |P F_{1}|$ ，则双曲线 $C$ 离心率的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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15、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 2$ ， $4 a_{1} + a_{3} = 8$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、63 B、48 C、31 D、15

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16、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $[0, 1]$

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17、已知i为虚数单位，复数z满足zi＝－2＋i，则 $\bar{z}$ ＝（）

A、1＋2i B、－1＋2i C、1－2i D、－1－2i

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若对 $\forall n \in N^{*}$ ，有且仅有一个 $m \in N^{*}$ ，使得 $S_{m} \leq a_{n} < S_{m + 1}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“K数列”.记 $b_{n} = S_{m + 1} - a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，称数列 $\{b_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“配对数列”.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前四项依次为1，2，0，2，试判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否为“K数列”，并说明理由；

(2)、若 $S_{n} = 2^{n}$ ，证明数列 $\{a_{n}\}$ 为“K数列”，并求它的“配对数列”的通项公式；

(3)、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 为“K数列”，且数列 $\{a_{n}\}$ 的“配对数列”为等差数列，证明： $S_{n} \leq (1 + 2^{n - 2}) a_{1}$ .

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19、某人今年月初向银行申请贷款12万元用于消费，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分12个月还清.银行给他提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息），贷款月利率都为0.3%.

(1)、若采取等额本金的还贷方式，求他第一个月还贷需支付多少利息；还清贷款共支付多少利息.

(2)、若采取等额本息的还贷方式，设他每月还贷m元（包括本金和利息），
①求第一个月还贷后所欠银行贷款为多少元（用含m的式子表达）；
②求出m的值；
③判断等额本息与等额本金的还贷方式哪种支付利息总额多，多多少元？
（参考数据 ${1.003}^{11} \approx 1.033$ ， ${1.003}^{12} \approx 1.036$ ， ${1.003}^{13} \approx 1.039$ ）

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20、已知 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $4 a_{2}$ ， $2 a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，且 $S_{4} = 8 a_{2} - 2$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使得这 $n + 2$ 个数依次构成公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

$X$	1	2
$P$	$a$	$b$

X	0	1	2	3	4
P	0.15	0.15	0.15	0.25	m