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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} - a (\ln x + 1)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在 $x \in [1, e]$ ，使得 $\frac{f (x) + a}{x} + a \leq 2$ ，求实数 $a$ 的最大值.

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ （其中 $e = 2.71828 \dots$ ）.

(1)、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (x^{2} - a x + 9) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [0, 1]$ ， $\exists x_{2} \in [m, + \infty)$ ，使 $e^{- |x_{1} - m|} \geq f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 2 x$ $(a \in R)$
（1）当 $a = 1$ 时，求 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；
（2）若函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) ， g (x)$ 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x} - x^{3}$ ，若函数 $h (x) = 3^{|x - 2024|} - λ f (x - 2024) - 2 λ^{2}$ 有唯一零点，则实数 $λ$ 的值为

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5、随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（ $10 \leq m \leq 20$ ， $m \in N^{*}$ ）

支持
不支持
男生
$70 - m$
$10 + m$
女生
$50 + m$
$30 - m$
若通过计算得，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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6、方程 $\log_{2} (9 - 2^{x}) = 3 - x$ 的解为 $x =$ .

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7、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} - a b + b = 0 (a > 1)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $b \geq 4$ B、 $2 a + b \geq 8$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$ D、 $a b \geq \frac{27}{4}$

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8、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x^{2} f^{'} (x) + 1 > 0$ ， $f (2) = \frac{5}{2}$ ，则关于x的不等式 $f (\ln x) < \frac{1}{\ln x} + 2$ 的解集为（）

A、 $(e^{2}, + \infty)$ B、 $(0, e^{2})$ C、 $(- \infty, e^{2})$ D、 $(1, e^{2})$

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9、把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是 $θ_{1}^{\circ} C$ ，空气的温度是 $θ_{0}^{\circ} C$ ，则 $t min$ 后该物体的温度 $θ^{\circ} C$ 可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- \frac{t}{4}}$ 求得．若将温度分别为 $100^{\circ} C$ 和 $60^{\circ} C$ 的两块物体放入温度是 $20^{\circ} C$ 的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过 $10^{\circ} C$ ，至少要经过（）（取： $ln 2 = 0.69$ ）

A、 $2.76 min$ B、 $4.14 min$ C、 $5.52 min$ D、 $6.9 min$

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10、如图中，图象对应的函数解析式为（）

A、 $f (x) = \frac{e^{|x|} cos 2 x}{x^{2} + 1}$ B、 $f (x) = \frac{e^{|x|} sin 2 x}{|x|}$ C、 $f (x) = \frac{sin 2 x}{x^{2} + 1}$ D、 $f (x) = \frac{e^{|x|} sin 2 x}{x^{2} + 1}$

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11、已知 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 不同两点，且满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{|x_{1} + y_{1} - 2|}{\sqrt{2}} + \frac{|x_{2} + y_{2} - 2|}{\sqrt{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{3}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{10} = 55$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $b_{1} = 2$ ， $T_{n + 1} = 2 T_{n} + 2$ （ $n \in N^{*}$ ）.定义：若 $b$ 被 $m$ 除得的余数为 $a$ ，记为 $b \equiv a (mod m)$ ，如： $5 \equiv 1 (mod 2)$ ， $14 \equiv 2 (mod 3)$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{array}{l} 1, a_{n} \equiv 1 (mod 3) \\ 2, a_{n} \equiv 2 (mod 3) \\ a_{n}, a_{n} \equiv 0 (mod 3) \end{array}$ ，记 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $M_{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若对任意 $n \geq 2$ ，都有 $M_{3 n} \geq λ a_{n - 1}$ 恒成立，求 $λ$ 的最大值；

(3)、求数列 $\{b_{n} \cdot c_{n}\}$ 的前 $3 n$ 项和.

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13、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，点 $A$ 在第一象限， $O$ 为坐标原点.

(1)、求 $|A B|$ 的最小值（用 $p$ 表示）；

(2)、若直线 $O A$ 与抛物线的准线交于点 $E$
（ⅰ）求证： $B E // x$ 轴；
（ⅱ）若直线 $A B$ 的斜率大于零， $A B$ 的中点为 $M$ ，过点 $F$ 作直线 $A B$ 的垂线交抛物线的准线于点 $N$ ， $△ M N F$ 与 $△ B E F$ 的面积相等，求直线 $A B$ 的斜率.

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14、如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上，下底面为正方形， $C D_{1}$ 与 $C_{1} D$ 交于点 $E$ ，平面 $A_{1} A D D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $A_{1} A B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A A_{1} = A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，求直线 $A E$ 与平面 $A_{1} D_{1} C$ 所成角的正弦值.

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $cos (\frac{2 π}{3} - A) = \frac{2 a - b}{2 c}$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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16、已知圆 $C$ 经过 $A (2, - 1)$ ， $B (0, 5)$ ，且圆心在直线 $x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + 4$ 截得圆 $C$ 弦长最短时，求实数 $k$ 的值.

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17、如图所示，由半椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (x < 0)$ 和两个半圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4 (x \geq 0)$ ， $C_{3} : x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4 (x \geq 0)$ 组成曲线 $C : F (x, y) = 0$ ，其中点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是 $C_{1}$ 的上、下焦点和 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 的圆心.若过点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 作两条平行线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 和 $C_{1}$ 、 $C_{3}$ 交于 $P$ 、 $Q$ 和 $M$ 、 $N$ ，则 $|M N| + |P Q|$ 的最小值为.

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18、记数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 a_{n + 1}}, a_{1} = 2$ ，则 $a_{2024} =$ .

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19、已知抛物线 $E$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）上一点 $M$ 到其焦点 $F$ 的距离与到 $x$ 轴的距离之差为2，则 $p =$ .

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20、定义 $[m]$ 为不超过 $m$ 的最大整数，例如： $[3] = 3$ ， $[\sqrt{5}] = 2$ .已知集合 $S_{1} = \{a_{1}\}$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 1} [a_{n}] = \{\begin{array}{l} \frac{{[a_{n}]}^{2}}{a_{n} - [a_{n}]}, a_{n} - [a_{n}] \neq 0 \\ a_{n}^{2}, a_{n} - [a_{n}] = 0 \end{array}$ ， $S_{n + 1} = S_{n} \cup \{a_{n + 1}\}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a_{1} = \frac{17}{10}$ ，则 $S_{3} = \{\frac{17}{10}, \frac{10}{7}, \frac{7}{3}\}$ B、若 $a_{1} = \sqrt{5}$ ，则 $S_{n}$ 的真子集个数为 $2^{n} - 1$ C、记 $T_{n}$ 为 $S_{n}$ 中所有元素之和，且 $T_{n} = n a_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ），则数列 $\{a_{n}\}$ 的单调性无法确定 D、若 $a_{1} = \sqrt{m^{2} + 2 m}$ （ $m \in N^{*}$ ），正整数 $n_{0}$ 满足：对任意 $m \in N^{*}$ ， $n \geq n_{0}$ ，都有 $S_{n + 1} = S_{n}$ ，则 $n_{0}$ 的最小值为3

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	支持	不支持
男生	$70 - m$	$10 + m$
女生	$50 + m$	$30 - m$

$α$	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	3.841	6.635	7.879	10.828