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相关试卷

1、如图，在圆锥 $P O$ 中， $A C$ 为底面圆 $O$ 的一条直径， $B, D$ 为底面圆周上不同于 $A, C$ 的两点，圆锥母线长为 $\sqrt{5}, A C = 2, ∠ B A C = 30^{\circ}$ .

(1)、若 $A D = 1$ ，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，证明： $A D$ ∥ $l$ ；

(2)、若 $A D$ 与平面 $P C D$ 所成角的正切值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A D$ 的长.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 2) x + 2 a ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} sin C, - cos A)$ ， $\vec{n} = (a, c)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，且 $b^{2} + c^{2} = 2 \sqrt{3} b c$ ，求 $a$ .

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4、祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，若直线 $y = 0$ 与 $y = 2$ 在第一象限内与双曲线 $C$ 及其渐近线围成图形 $O A B N$ （如图1），则它绕 $y$ 轴旋转一周所得几何体 $Ω$ 的体积为；由双曲线 $C$ 和两直线 $y = \pm 2$ 围成的封闭图形绕 $y$ 轴旋转一周后得到几何体 $Γ$ （如图2），则 $Γ$ 的体积为.

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5、已知曲线 $y = x + ln x$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (a + 4) x + 1$ 只有一个公共点，则 $a =$ .

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6、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域是.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，总存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $S_{n} = a_{m}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列”.以下结论中正确的是（）

A、若 $a_{n} = n$ ，则 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列” B、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列” C、设 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，当 $a_{1} = 1$ ，公差 $d < 0$ 时，若 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列”，则 $d = - 1$ D、对任意的等差数列 $\{a_{n}\}$ ，总存在两个“回归数列” $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} + c_{n} (n \in N^{*})$

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8、已知不等式 $ln x \leq x - 1$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立（当且仅当 $x = 1$ 时等号成立），下列不等式正确的是（）

A、 $ln x \geq 1 - \frac{1}{x} (x > 0)$ B、 $\frac{3}{7} < ln 7 - ln 4 < \frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2025} > ln 2025$ D、 $\frac{1}{7^{7}} + \frac{1}{7^{5}} + \frac{3}{7^{4}} + \frac{5}{7^{3}} + \frac{5}{7^{2}} + \frac{3}{7} + 2 < e$

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9、下列说法正确的有（）

A、已知随机事件 $A, B$ 的概率不为0，若 $A$ 和 $B$ 相互独立，则 $A$ 和 $B$ 一定不互斥 B、若 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = - 0.2 x + 0.8$ ，则样本点 $(2, - 1)$ 的残差为1.4 C、数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的平均数为2，方差为12，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 16$ D、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (4, \frac{1}{9})$ ，则 $E (2 X + 1) = 9, D (2 X + 1) = \frac{4}{9}$

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10、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}, ∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，则 $| P A | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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11、已知圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面是以 $A$ 为顶点的等腰三角形，若 $A, B, C$ 分别是该三角形的三个内角，则 $tan \frac{B}{3} + tan \frac{2 B}{3} + tan B + tan \frac{B}{3} tan \frac{2 B}{3} tan B =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、0 D、1

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12、若函数 $f (x)$ 有唯一零点，且 $f (x + 1) = x^{2} - 1 + a (e^{x} + e^{- x})$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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13、某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为 $1 : 2 : 2$ ，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有 $\frac{2}{3}$ 的人投票给1号菜品，教工代表中有 $\frac{1}{4}$ 的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（）

A、 $\frac{8}{21}$ B、 $\frac{13}{21}$ C、 $\frac{4}{21}$ D、 $\frac{3}{7}$

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14、已知直线 $m, n, l$ ，平面 $α, β$ ，若平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，且 $α \cap β = l$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $m$ $∥$ $α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m \subset α, n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m \subset α$ ，则直线 $m$ 必垂直于平面 $β$ 内的无数条直线

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15、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $|\vec{a}| = \sqrt{2} |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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16、若 $\frac{z + 2}{z} = 2 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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17、若集合 $A = \{x ∣ \sqrt{x} \leq 2\}, B = \{x ∣ {log}_{2} (x - 1) \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 4, 4]$ B、 $[1, 4]$ C、 $(1, 4]$ D、 $[0, 5]$

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18、海岸上建有相距 $40 \sqrt{3}$ 海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 $α = ∠ B C A = 45 ° ， β = ∠ A C D = 30 ° ， γ = ∠ B D C = 45 ° ， δ = ∠ A D B = 75 °$ .

(1)、救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？

(2)、求 $A ， B$ 之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？

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19、已知函数 $f_{n} (x) = \ln x - \frac{n}{x} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ），且 $f_{n} (x)$ 有唯一零点 $a_{n}$ .

(1)、证明： $f_{1} (x) \geq 2 - \frac{2}{x}$ ；

(2)、证明： $2 \ln \frac{n + 2}{2} < \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq 2 \sqrt{n} - 1$ ；

(3)、判断数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由.

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20、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的虚轴长为2，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求双曲线E的标准方程：

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点 $C (2, \sqrt{3})$ ，直线BC与直线 $x = 3$ 交于点N.
（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：
（ⅱ）记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为 $△ M B C$ ， $△ A B N$ 的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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