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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 4$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 6 \times 5^{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} - 5^{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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2、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $sin C = sin A cos B + \frac{1}{2} sin B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 2 a$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为2，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点 $P (4, 2)$ 的跳法共有种．（用数字作答）

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + 2 sin x$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $f (2 m) + f (n - 2) = f (0)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是．

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5、 ${(x - \frac{1}{3 \sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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6、我们常用的数是十进制数，如 $1025 = 1 \times 10^{3} + 0 \times 10^{2} + 2 \times 10^{1} + 5 \times 10^{0}$ ，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数 $1101_{(2)} = 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0}$ ，等于十进制的数13．已知 $m, n \in N^{*}$ ，且 $m \geq 2$ ， $n \geq 2$ ，若把 $m$ 位 $n$ 进制中的最大数记为 $M (m, n)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $M (5, 4) = 1023$ B、 $M (2, 4) < M (4, 2)$ C、 $M (3^{n}, 2) > M (3 n, 2)$ D、 $M (n + 3, n + 2) > M (n + 2, n + 3)$

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7、如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，动点 $Q$ 在侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 内（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、 $B D ⊥ A_{1} P$ B、平面 $A_{1} B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、若 $A_{1} Q = \sqrt{11}$ ，则点 $Q$ 轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ D、若点 $G$ 在直线 $A_{1} B$ 上，则 $A G + G P$ 的最小值为 $\sqrt{9 - 2 \sqrt{10}}$

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8、某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、平均数为2，方差为2.4 D、中位数为3，方差为2.8

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9、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ ， $B$ 两点分别位于 $x$ 轴的上下两侧，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，其中 $O$ 为坐标原点．过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 向 $l$ 作垂线交 $l$ 于点 $H$ ，动点 $H$ 的轨迹为 $L$ ，则 $L$ 的方程和直线 $O H$ 斜率的最大值分别为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ （除去点 $(1, 0)$ ）， $\frac{2}{3}$ B、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ （除去点 $(1, 0)$ ）， $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $\frac{1}{3}$

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10、设曲线 $y = e^{(n + 1) x} (n \in N^{*})$ 在 $(1, e^{n + 1})$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n}$ ，则 ${log}_{2025} x_{1} + {log}_{2025} x_{2} + {log}_{2025} x_{3} + \dots + {log}_{2025} x_{2024}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- {log}_{2025} 2024$ C、 ${log}_{2025} 2024 - 1$ D、1

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11、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sinπ ω x - cosπ ω x (ω > 0)$ 在 $[0, 1]$ 内恰有3个最值点和3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{10}{3}, \frac{23}{6}]$ B、 $[\frac{10}{3}, \frac{23}{6})$ C、 $[\frac{7}{3}, \frac{19}{6})$ D、 $[\frac{8}{3}, \frac{19}{6})$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ，若 $S_{5} = 35$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{9}$ 成等比数列，则 $a_{7}$ 的值为（）

A、11 B、13 C、19 D、17

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13、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (10, σ^{2})$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $P (X < 9.9) + P (X \leq 10.1) > 1$ B、当 $σ = 0.1$ 时， $D (2 X + 1) = 0.4$ C、 $E (X) = \sqrt{10}$ D、随机变量 $X$ 落在 $(9.9, 10.2)$ 与落在 $(9.8, 10.1)$ 的概率相等

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14、已知 $\vec{a} = (2, 2 m - 1)$ ， $\vec{b} = (4, m)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- 6$

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15、设 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 6 + 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{5}$

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16、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 8 < 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ {log}_{2} (x + 1) > 1\}$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 $[1, 2] \cup [3, + \infty)$ B、 $(- 2, - 1) \cup [4, + \infty)$ C、 $(1, 2]\cup[4, + \infty)$ D、 $(1, 2) \cup (4, + \infty)$

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $c = 4, C = \frac{π}{3}$ ， $sin B cos A = sin 2 A$ ，且 $b^{2} + c^{2} \neq a^{2}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆直径为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ B、 $b = 2 a$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $3$ D、 $△ A B C$ 的周长为 $4 + 4 \sqrt{3}$

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18、已知函数 $f (x) = sin x$ ， $g (x) = cos x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (g (x))$ 为奇函数 B、 $g (f (x))$ 为偶函数 C、 $f (g (x))$ 在 $[0, π]$ 上仅有1个零点 D、 $g (f (x))$ 的最小正周期为 $π$

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19、中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛､方垛､刍甍多､刍童垛等的公式.我们把公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 称为“一阶等差数列”，若数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是“一阶等差数列”，则称数列 $\{a_{n}\}$ 是“二阶等差数列”.定义：若数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是“ $k$ 阶等差数列”，则称原数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k + 1$ 阶等差数列”.例如：数列 $1, 3, 6, 10$ ，它的后项与前项之差组成新数列 $2, 3, 4$ ，新数列 $2, 3, 4$ 是公差为1的等差数列，则称数列 $1, 3, 6, 10$ 为二阶等差数列.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 4$ ，且 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 (a_{n} + 1) (n \geq 2)$ ，求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列；

(2)、若三阶等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前4项依次为 $1, 4, 10, 20$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、若 $k$ 阶等差数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式为 $c_{n} = {(2 n - 1)}^{4}$ .
①求 $k$ 的值；
②求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有公共焦点 $F$ ，且 $p = 4 b$ .

(1)、若抛物线的方程为 $y^{2} = 8 \sqrt{3} x$ .
①求双曲线 $C$ 的方程；
②设直线 $l : x = \frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $P (6, 0)$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，点 $Q$ 在直线 $l$ 上，且直线 $A Q ⊥ y$ 轴，证明：直线 $B Q$ 恒过定点.

(2)、过 $F$ 的直线 $m$ 与抛物线 $Γ$ 交于 $M, N$ 两点，与 $C$ 的两条渐近线交于 $S, T$ 两点（均位于 $y$ 轴右侧）.若实数 $λ$ 满足 $λ (\frac{1}{|O S|} + \frac{1}{|O T|}) = |\frac{1}{|M F|} - \frac{1}{|N F|}|$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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