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相关试卷

1、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - 3, a_{n + 1} = - 2 a_{n} - 3$ ．

(1)、求证：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为筝形， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ，点 $M$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，且 $P A = A M = C M = D M = \frac{1}{2} B M$ ．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、已知 $N$ 为棱 $P C$ 上的一点，若 $\vec{P N} = \frac{1}{2} \vec{N C}$ ，求二面角 $B - A N - D$ 的余弦值．
（注：筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形）

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆的面积为 $2 π$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、已知直线 $l : y = x + m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ A B O$ 的面积为 $\frac{4}{5}$ ，求直线 $l$ 的方程.
（注：椭圆的面积公式为 $S = π a b$ ）

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、比较 $e^{\frac{1}{2025}}$ 与 $\frac{2026}{2025}$ 的大小，并说明理由.

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5、将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个小盒只能装一个小球，用 $Y$ 表示编号与盒子编号相同的小球数，求 $Y$ 的分布列．

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6、已知函数 $f (x) = {(a x)}^{2} - 3 a x + \ln x$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，则 $a =$ .

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7、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (m, n)$ 在抛物线 $C$ 上，若 $|P F| = 3$ ，则 $n =$ .

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8、设实数 $a > 0$ ，若不等式 $a e^{a x - 1} \geq \ln x + 1$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，那么 $a$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $e$ D、2

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9、 ${(3 - 2 x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots \dots + a_{2024} x^{2024} + a_{2025} x^{2025}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $a_{0} = 3^{2025}$ B、 $a_{0} - \frac{1}{2} a_{1} + \frac{1}{4} a_{2} - \frac{1}{8} a_{3} + \dots \dots - \frac{1}{2^{2025}} a^{2025} = 2^{4050}$ C、 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \dots \dots + |a_{2025}| = 1$ D、 $a_{0} + 2 a_{1} + 3 a_{2} + \dots \dots + 2026 a_{2025} = - 4049$

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10、下列说法正确的有（）

A、若平面 $A B C$ 的法向量 $\vec{m} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{P A} = (3, 0, - 1)$ ，则点 $P \in$ 平面 $A B C$ B、若平面 $A B C$ 的法向量 $\vec{n} = (1, 1, 2)$ ， $\vec{P C} = (0, 3, 0)$ ，则点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、若平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}} = (1, 8, 4)$ ， $\vec{n_{2}} = (1, 0, 2)$ ，则两平面的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、空间中三个点 $A (0, 2, 1)$ ， $B (1, 4, - 1)$ ， $C (2, 6, - 3)$ ，则 $∠ A B C$ 为钝角

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11、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A D}$ ，在平面 $E F C_{1}$ 上存在一点 $P$ ，使得 $\tan ∠ A C P = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，则点 $P$ 的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \lg \frac{2 n - 1}{2 n + 1} (n \in N^{*})$ ，则使数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} + 2 < 0$ 的 $n$ 的（）

A、最小值为49 B、最大值为49 C、最小值为50 D、最大值为50

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13、已知 $P (A) = 0.6$ ， $P (A | B) = 0.9$ ， $P (A | \bar{B}) = 0.4$ ，则 $P (B)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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14、如图是杭州地铁一号线的运行线路图的一部分，现有甲、乙、丙、丁4名游客乘坐湘湖至萧山国际机场方向的地铁一号线去西湖游玩，已知定安路站、龙翔桥站、凤起路站均可到达西湖景区，每名游客只在其中一个车站下车，且每个车站至少有一名游客下车，已知甲在定安路站下车，那么这4名游客下车的不同方案有（）种.

A、24 B、20 C、12 D、6

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15、若直线 $l_{1} : 2 x - y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : k x + y - 2 = 0 (k \in R)$ 平行，那么这两条直线之间的距离为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $8$ 项积为 $256$ ，且 $a_{2} \cdot a_{3} = 1$ ，那么数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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17、已知 $A$ ， $B$ 是上半圆 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ 上的两点（不包括端点） $(x_{A} < 0, x_{B} > 0)$ ，那么 $f^{'} (x_{A})$ 与 $f^{'} (x_{B})$ 的大小关系为（）

A、 $f^{'} (x_{A}) > f^{'} (x_{B})$ B、 $f^{'} (x_{A}) = f^{'} (x_{B})$ C、 $f^{'} (x_{A}) < f^{'} (x_{B})$ D、不能确定

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18、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D_{1} D = 2$ ， $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} A //$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} A$ 到平面 $C_{1} B D$ 的距离；

(3)、若点P是平面 $A B C D$ 内的动点，且满足 $B D ⊥ B_{1} P$ ，设直线 $D_{1} P$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $θ$ ，求 $\tan θ$ 的最大值．

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19、锐角 $△ A B C$ 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\cos B = \frac{c - a}{2 a}$ ．

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求边c的取值范围．

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20、如图，梯形 $B C D P$ 中， $B C // P D$ ， $B A ⊥ P D$ 于点 $A$ ， $P A = \sqrt{2}$ ，且 $A B = B C = 1 = \frac{1}{2} A D$ ．沿 $A B$ 把 $△ P A B$ 折起到 $△ P^{'} A B$ 的位置，使 $P^{'} D = \sqrt{6}$ ．

(1)、求异面直线 $C D$ 与 $P^{'} B$ 所成角的余弦值；

(2)、若 $E$ 为 $P^{'} C$ 的中点， $F$ 为 $P^{'} D$ 上一点，证明 $C F ⊥ A E$ ．

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