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相关试卷

1、设函数 $f (x)$ 满足等式 $f (x) - 2 f (\frac{1}{x}) = x, x \neq 0$ ，则 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{2}}{3}]$ B、 $[\frac{2 \sqrt{2}}{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{2}}{3}] \cup [\frac{2 \sqrt{2}}{3}, + \infty)$ D、 $[- \frac{2 \sqrt{2}}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3}]$

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2、已知 $a, b$ 是正实数， $p : a > b$ ， $q : \frac{b^{2}}{a} < \frac{a^{2}}{b}$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知命题 $p : \forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ D、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$

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4、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形，满足 $A B ⊥ A D ， B C / / A D ， P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ．设 $A B = P A = a ， A D = b$ ．记平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线为 $l$ ．

(1)、若 $a = b = 1$ ，且 $B C = A D$ .
（i）证明： $l / /$ 平面 $A B C D$ ；
（ii）直线 $l$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得 $Q B ⊥$ 平面 $P B C$ ？若存在，求 $|P Q|$ 的值．若不存在，说明理由．

(2)、是否存在点 $C$ ，使三棱锥 $P - B C D$ 的外接球球心 $O$ 在底面 $A B C D$ 所在平面上，若存在，求出 $B C$ 的长（用 $a ， b$ 表示）．若不存在，说明理由．

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5、设直线 $l ： x + 2 y - 2 = 0$ .

(1)、求与直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{5}$ 的直线的方程；

(2)、设圆 $C ： x^{2} + 4 x + y^{2} + 2 y + 4 = 0$ ，写出圆 $C$ 的圆心坐标和半径，并求关于直线 $l$ 的对称圆的方程．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = D A = 2$ ， $D C = 1$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，点 $Q$ 在 $P M$ 上，且 $P Q = 2 Q M$ .

(1)、证明： $D Q ⊥$ 平面 $P A M$ ；

(2)、求平面 $P A M$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值.

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7、正四面体 $P - A B C$ 的棱长为 $\sqrt{2}$ ，记该正四面体外接球的球心为 $O$ ．若点 $Q$ 是该球面上的一动点，则 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q C}$ 的最大值为.

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8、已知直线 $l_{1}$ ： $x + a y - a = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $a x - (2 a - 3) y - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、 $l_{2}$ 始终过定点 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ 或2 C、当 $a = - 3$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{10}}{15}$ D、若 $l_{1}$ 不经过第三象限，则 $a > 0$

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $D_{1} E$ 上，点 $P$ 到直线 $A A_{1}$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{4}{5} \sqrt{5}$ B、 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ C、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ D、 $\frac{1}{5} \sqrt{5}$

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10、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 10} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 13}$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\sqrt{29}$ C、 $\sqrt{31}$ D、 $\sqrt{41}$

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11、已知 $A B$ 是圆锥 $P O$ 的底面直径，C是底面圆周上的点， $∠ B A C = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ ，则 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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12、若直线 $l_{1 :} : (a - 2) x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x - (a + 1) y - 2 = 0$ 互相平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、0或1 D、0或-1

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13、已知 $x ， y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (2, y, 2)$ ， $\vec{c} = (x, y, 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{c}| =$ （）

A、 $3$ B、 $5$ C、 $7$ D、 $9$

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14、在空间直角坐标系中，点 $P (1, 2, 3)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点坐标为（）

A、 $(- 1, - 2, 3)$ B、 $(1, - 2, 3)$ C、 $(- 1, 2, 3)$ D、 $(1, 2, - 3)$

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15、已知 $\vec{a} = (- 3, 2, 5)$ ， $\vec{b} = (1, 4, - 2)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 等于（）

A、 $(- 5, - 6, 9)$ B、 $(- 1, 10, 1)$ C、 $(- 7, 0, 2)$ D、 $(5, 6, - 9)$

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16、直线 $x cos θ + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 倾斜角的取值范围是．

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17、已知 $f (x) = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，解关于 $x$ 的方程 $f (\frac{8}{x}) f (2 x) = - 5$ ；

(2)、若 $f (2 a - 1) > f (a + 2)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18、如图所示的多面体是由底面为 $A B C D$ 的长方体被平面 $A E C_{1} F$ 所截而得到的，其中 $A B = 4, B C = 2, C C_{1} = 3, B E = 1$ .

(1)、求线段 $B F$ 的长；

(2)、求二面角 $E - F C_{1} - C$ 的余弦值.

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19、用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率 $K = \frac{|f^{″} (x)|}{{\{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}\}}^{\frac{3}{2}}}$ ，则曲线 $f (x) = \sqrt{x}$ 在（1，1）处的曲率为；正弦曲线 $g (x) = \sin x$ （x∈R）曲率的平方 $K^{2}$ 的最大值为.

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20、过点 $(\sqrt{3}, - \sqrt{5})$ 且与双曲线 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 有相同的焦点的椭圆的标准方程为.

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