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相关试卷

1、如图，已知平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点 $E$ 是 $C C^{'}$ 的中点，下列结论中正确的是（）．

A、 $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} - \vec{A A^{'}} = \vec{B A^{'}}$ C、 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ D、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{C C^{'}} = \vec{A E}$

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2、下列命题中不正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线， $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 共线 B、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，即它们所在的直线共面 C、若两个非零空间向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{C D}$ ，满足 $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A B}$ ∥ $\vec{C D}$ D、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则存在唯一的实数λ ，使 $\vec{a}$ =λ $\vec{b}$

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3、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ， $\vec{C C_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A_{1} B} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a}$

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4、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为空间中任意四个点，则 $\vec{D A} + \vec{C D} - \vec{C B}$ 等于（）

A、 $\vec{D B}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{B A}$

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5、如图，在空间四边形 $A B C D$ 中，设 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点，则 $\vec{A D} + \frac{1}{2} (\vec{B C} - \vec{B D}) =$ （）

A、 $\vec{A D}$ B、 $\vec{F A}$ C、 $\vec{A F}$ D、 $\vec{E F}$

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6、 ${\vec{d}}_{1}$ ， ${\vec{d}}_{2}$ 都是直线l的方向向量，则下列说法中正确的是（）

A、 ${\vec{d}}_{1} / / {\vec{d}}_{2}$ B、 ${\vec{d}}_{1} = {\vec{d}}_{2}$ C、 ${\vec{d}}_{1}$ 与 ${\vec{d}}_{2}$ 同向 D、 ${\vec{d}}_{1}$ 与 ${\vec{d}}_{2}$ 反向

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7、下列说法正确的是（）

A、 $若 | \vec{a} | = |\vec{b}|$ ，只代表两个向量长度相等，方向可以任意，不一定 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 为相反向量，则 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ C、零向量是没有方向的向量 D、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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8、已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X．

(1)、求甲同学取球两次即终止的概率；

(2)、求随机变量X的分布列及期望．

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9、终边在直线 $y = x$ 上的角 $α$ 的集合是．（用弧度制表示）

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10、已知 $f (x) = 1 - \frac{a}{4^{x} + 1}$ 为奇函数， $g (x) = 2 x^{2} + b^{2} x - b$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(3)、若函数 $g (f (x))$ 有两个零点，求实数 $b$ 的取值范围．

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11、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、ab的最小值为8 B、 $a + b$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为16 D、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{2}{b - 2}$ 的最小值为2

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} (3 - a) x + 2, x \geq 2 \\ a^{x}, x < 2 \end{cases}$ ，则“ $1 < a < 3$ ”是“ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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13、我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值 $θ$ 称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画 $B C$ ，最高点为 $B$ ，最低点为 $C$ ，观察点 $A$ 所在的水平线与壁画的竖直线交点为 $O$ ，在点 $A$ 处观察点 $B$ ，仰角为 $45 °$ ，然后面对壁画前进 $6 m$ 处的点 $D$ 观察点 $B$ ，其仰角的正切值为7．

(1)、求壁画最高点 $B$ 与点 $O$ 的距离；

(2)、若在 $A$ ， $D$ 两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等．
①求壁画最低点 $C$ 与点 $O$ 的距离；
②在观察水平线 $A O$ 上，应处在距离点 $O$ 多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？

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14、如图1，在 $△ P A B$ 中， $P A ⊥ A B$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ ， $C$ 分别是 $P A$ ， $P B$ 的中点，现将 $△ P D C$ 沿 $D C$ 逆时针翻折形成四棱锥 $P^{'} - A B C D$ （如图2），且 $P^{'} A = \sqrt{3}$ ，直线 $P^{'} C$ 与平面 $P^{'} A D$ 所成的角为 $45 °$ ．

(1)、求证：平面 $P^{'} A B ⊥$ 平面 $P^{'} A D$ ；

(2)、求四棱锥 $P^{'} - A B C D$ 的体积；

(3)、求二面角 $C - P^{'} A - D$ 的正切值．

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15、甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{1}{3}$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动．

(1)、求小队猜对3个谜题的概率；

(2)、求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率．

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16、已知 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $cos \frac{α}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $cos (α + β) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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17、如图所示，平面 $α \cap$ 平面 $β = l$ ，平面 $α \cap$ 平面 $γ = a$ ，平面 $β \cap$ 平面 $γ = b$ ，点 $P \in$ 平面 $γ$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $α$ ， $P B ⊥$ 平面 $β$ ．

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 直线 $A B$ ；

(2)、若直线 $l //$ 直线 $a$ ，证明：直线 $a //$ 直线 $b$ ．

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18、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $D C$ ， $A B$ 的中点，将面 $A D M N$ 沿 $M N$ 翻折形成三棱柱 $A N B - D M C$ ，使得平面 $A D M N$ 与平面 $B C M N$ 所成的角为 $60 °$ ，且 $A B < 2 \sqrt{3}$ ．则 $B M$ 与平面 $A D M N$ 所成角的正弦值为；三棱柱 $A N B - D M C$ 所在外接球的表面积为．

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $B = 60^{\circ}$ ， $a + c = 6$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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20、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线， $\vec{A P} = λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{A M} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{P Q} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，若 $M$ ， $P$ ， $Q$ 三点共线，则实数 $λ$ 的值为．

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