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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = a + 2 i$ 与 $z_{2} = 3 + b i$ 互为共轭复数，则 $z_{1} z_{2}$ 的值是（）

A、4 B、6 C、9 D、13

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2、若 $\vec{a} = (6, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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3、 $\sin 75 ° \cos 30 ° - \sin 30 ° \cos 75 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4、若存在 $x_{0} \in R$ ， $n_{0} \in N^{*} (n_{0} \geq 2)$ ，使得 $\{x | x = x_{0} + \frac{2 k π}{n_{0}}, k \in Z\}$ 恰为函数 $f (x)$ 的全部零点所构成的集合，则称 $f (x)$ 为“分圆函数”．

(1)、分别判断下列函数是否为“分圆函数”；（结论不要求证明）
① $y = \sin x - \cos x$ ；
② $y = 2 \cos x + 1$ ．

(2)、求证：对任意a∈R ， $f (x) = \tan^{2} x - a \tan x - 1$ 均为“分圆函数”；

(3)、若 $g (x) = \frac{\cos 2 x}{\cos x} - b$ 为“分圆函数”，求 $b$ 的值．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}, A C = 2, B C = 4$ ，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{P B}$ ，沿 $C P$ 将 $△ A C P$ 折起形成三棱锥 $A_{1} - P B C$ ．

(1)、若 $P C ⊥ A B$ ，求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A_{1} P B$ ；

(2)、若 $λ = 1, A_{1}$ 在平面 $P B C$ 上的射影恰好在 $B C$ 上，求二面角 $A_{1} - C P - B$ 的余弦值；

(3)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，且二面角 $A_{1} - C P - B$ 为直二面角，求点 $P$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离．

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6、高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩 $x$ 进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（ $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

(1)、若根据这次成绩，年级择优选取 $40 %$ 的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？

(2)、年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组10位学生测试分数的平均数 $\bar{x} = 90$ ，标准差 $s = 6$ ，若该小组得分分别为95分和85分的 $A 、 B$ 两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差；

(3)、在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两人都回答正确的概率是 $\frac{9}{32}$ ，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是 $\frac{19}{24}$ ．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率．

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7、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $C C_{1}, A A_{1}$ 的中点， $H$ 为直线 $B_{1} D$ 与平面 $B E D_{1} F$ 的交点．

(1)、求证： $B 、 H 、 D_{1}$ 三点共线；

(2)、求 $B B_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 7, b = 8$ ．

(1)、若 $C$ 为钝角，求 $△ A B C$ 周长的取值范围；

(2)、若 $C$ 为锐角，且 $sin C = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $cos B$ ．

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足 $D_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ，则 $A P$ 的最小值为.

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10、在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有个．

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11、计算 $\frac{3 + i}{2 - i} =$ ．

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a : b : c = 2 : 3 : 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4$ B、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的3倍 C、 $tan A tan B tan C < 0$ D、若 $c = 4$ ，则 $△ A B C$ 内切圆半径为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$

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13、空中有一气球（近似看成一个点） $C$ ，其在地面 $A B D$ 的射影是 $D$ 点，在 $D$ 点的正西方A点测得它的仰角为 $45 °$ ，同时在 $D$ 点的南偏东 $60 °$ 的 $B$ 点，测得它的仰角为 $30 °$ ，若 $A 、 B$ 两点间的距离为100米，那么测量时气球 $C$ 到地面的距离 $C D$ 是（）．

A、100米 B、 $(\frac{100 \sqrt{7}}{7} + 1)$ 米 C、 $\frac{100 \sqrt{7}}{7}$ 米 D、 $100 \sqrt{7}$ 米

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14、一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件 $A =$ “两次向上的数字都为3”， $B =$ “两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（）

A、事件A与事件B相互独立 B、事件A与事件B互斥 C、 $P (B) = \frac{1}{12}$ D、P(AB)= $\frac{1}{36}$

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C E$ 中，四边形 $A B C E$ 是梯形， $A B / / C E,$ 且 $A B = 3 C E,$ 点F在棱 $P A$ 上，且 $E F$ $∥$ 平面 $P B C$ ，则 $\frac{P F}{F A}$ =（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、如图， $△ A^{'} O^{'} B^{'}$ 为 $△ A O B$ 的直观图， $∠ O^{'} A^{'} B^{'} = \frac{π}{2}$ 且 $△ A^{'} O^{'} B^{'}$ 的面积为1，则 $△ A O B$ 中最长边的边长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、1

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17、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个单位向量， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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18、已知集合 $P = \{0, 1\}$ ，集合 $Q = [- 1, 1)$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $P \cap Q = \emptyset$ B、 $P \cup Q = P$ C、 $P$ 的子集有4个 D、 $P \subseteq Q$

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19、一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（）

A、极差为5 B、中位数是7 C、平均数是5 D、众数是8

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20、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $△ A C D$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $B B_{1} = A B = 3$ ， $∠ A C B = \frac{π}{3}$ ，棱 $A D$ 的中点为 $F$ .

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、现在将矩形 $B C C_{1} B_{1}$ 以边 $B B_{1}$ 所在直线为旋转轴， $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 逆时针旋转至矩形 $B E E_{1} B_{1}$ ，解答下列问题：
（i）在旋转过程中，是否存在 $θ$ ，使得直线 $F E_{1}$ 与直线 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ ？若存在，求出满足条件的 $θ$ ；若不存在，请说明理由；
（ii）在旋转过程中，求直线 $F E_{1}$ 与平面 $B B_{1} E_{1} E$ 所成角的正弦值的最大值.

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