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相关试卷

1、已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，且满足 $f^{'} (x) + f (x) > 0$ 对 $x \in [0, 1]$ 恒成立， $A$ ， $B$ 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (\sin A)}{e^{\sin B}} < \frac{f (\sin B)}{e^{\sin A}}$ B、 $\frac{f (\sin A)}{e^{\sin B}} > \frac{f (\sin B)}{e^{\sin A}}$ C、 $\frac{f (\cos A)}{e^{\sin B}} < \frac{f (\sin B)}{e^{\cos A}}$ D、 $\frac{f (\cos A)}{e^{\sin B}} > \frac{f (\sin B)}{e^{\cos A}}$

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2、现有 $2$ 名男同学和 $2$ 名女同学站成一排合影，则 $2$ 名女同学不相邻的站法种数是（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f^{'} (2) x^{2} + x - 3$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 5$ D、5

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4、二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{5}$ 展开式中含x项的系数是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 n^{2}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、16 B、18 C、20 D、25

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6、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $3 a_{1}$ ， $\frac{1}{2} a_{3}$ ， $2 a_{2}$ 成等差数列，则 $q =$ （）

A、 $- 1$ B、3 C、 $- 1$ 或3 D、1.或 $- 3$

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7、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 20$ ， $a_{7} = 12$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、2 B、6 C、8 D、12

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8、已知正数 $x, y$ 满足 $2 x = x y - y$ .

(1)、求 $y$ 的取值范围.

(2)、求 $x + 2 y$ 的最小值

(3)、若正数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 9$ ，证明： $\frac{b^{2}}{a + 6} + \frac{c^{2}}{b + 6} + \frac{a^{2}}{c + 6} \geq \frac{3}{x} + \frac{6}{y}$ .

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x - 2 a + 10, & x \leq 0 \\ x^{2} - (a + 1) x + {(a - 1)}^{2}, & x > 0 \end{array}$ .

(1)、若 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (- 1 - x^{2}) < x + 1$ 的解集；

(3)、当 $a = 3$ 时，用单调性的定义证明：函数 $G (x) = f (x) - \frac{1}{x}$ 在区间 $[2, + \infty)$ 上单调递增.

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10、已知集合 $A = {x | (x - 2) (x + 5) < 0}$ ， $B = {x | 1 - m < x < 1 + m}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若存在正实数 $m$ ，使得“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”成立的必要不充分条件，求正实数 $m$ 的取值范围.

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11、已知 $a > 0, b > 0, 4 a + b = a b$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a b$ 的最小值为16 B、 $a + b$ 的最小值为13 C、 $a + \frac{1}{a} + 4 (b + \frac{1}{b})$ 的最小值为10 D、 $16 a^{2} + b^{2}$ 的最小值为128

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12、下列说法正确的是（）

A、 $\emptyset \in \{0\}$ B、集合 ${x | x = 2 n, n \in Z} = \{x | \frac{x}{2} \in Z\}$ C、集合 ${x | y = x^{2}} = {y | y = x^{2}}$ D、若 $\{1, a, \frac{b - 1}{a}\} = \{0, \frac{1}{a}, b\}$ ，则 $a = - 1$

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} - k x + 2025$ 在 $[3, 4]$ 上具有单调性，则实数k的取值范围是（）

A、 $[6, 8]$ B、 $(- \infty, 6] \cup [8, + \infty)$ C、 $(8, + \infty)$ D、 $(- \infty, 6]$

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14、命题 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 2 > 0$ 的否定是（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - 2 \leq 0$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - 2 > 0$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 2 \leq 0$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - 2 \leq 0$

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15、已知集合 $A = \{- 1, 0\}$ ， $B = \{0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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16、用 $f^{'} (x)$ 表示函数 $f (x)$ 的导函数，若对 $f (x)$ 定义域内任意不相等的两个数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为 $A$ 函数；若对 $f (x)$ 定义域内任意不相等的两个数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ （或都有不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ）成立，则称函数 $f (x)$ 为 $B$ 函数.

(1)、证明：若 $f (x) = x^{2}$ ，则 $f (x)$ 为 $A$ 函数；

(2)、若 $f (x) = e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数），问 $f (x)$ 是 $A$ 函数还是 $B$ 函数？证明你的结论.

(3)、若 $g (x) = \frac{e^{x}}{x} - ln x + x - a$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ .
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）证明 $x_{1} x_{2} < 1$ .

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17、甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题 $A$ 和 $B$ ，乙同学做试题 $C$ ，已知甲同学做对试题 $A$ 的概率为 $0.6$ ，做对试题 $B$ 的概率为 $0.4$ ，同时做对试题 $A$ 和 $B$ 的概率为 $0.3$ ；乙同学做对试题 $C$ 的概率为 $0.5$ ，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响.

(1)、求甲同学做对试题 $A$ 没有做对试题 $B$ 的概率；

(2)、求甲同学在没有做对试题 $A$ 的条件下做对试题 $B$ 的概率；

(3)、若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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18、定义函数 $f (x) = a_{1} x^{n} + a_{2} x^{n - 1} + a_{3} x^{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x (n \in N^{*})$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“生成函数”，且 $f (1) = \frac{n^{2} + n}{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $f (\frac{1}{2})$ ．

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19、已知 ${(3 x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式有 $7$ 项.

(1)、求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；

(2)、求该展开式中含 $x^{7}$ 的项；

(3)、求该展开式中系数最大的项.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{a x + 1}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值.

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