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相关试卷

1、若函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + 3$ 无极值，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{4}{3})$ B、 $(- \infty, \frac{4}{3}]$ C、 $(\frac{4}{3}, + \infty)$ D、 $[\frac{4}{3}, + \infty)$

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2、已知函数 $f (x) = \ln (a x) - \frac{1}{3} x^{3} (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 2$ 时，设 $g (x) = f (x) + t$ ，若 $g (x)$ 有两个不同的零点，求参数 $t$ 的取值范围．

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3、若 $x \in R$ ， $x^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 2) + a_{2} {(x - 2)}^{2} + \dots + a_{10} {(x - 2)}^{10}$ ；求：

(1)、求 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10}$ 的值；

(2)、求 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{10}$ 的值；

(3)、求 $a_{i} (i = 0, 1, 2, \dots, 10)$ 的最大值．

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4、已知离散型随机变量X的分布列 $P (X = \frac{k}{5}) = a k (k = 1, 2, 3, 4, 5)$ ．

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求 $P (X \leq \frac{3}{5})$ ；

(3)、求随机变量 $η = |5 X - 2|$ 的分布列及方差．

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - 2 x$ 在 $x = - 1$ 处取得极值．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 1]$ 的最大值与最小值．

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6、计算：（用数字作答）

(1)、 $A_{6}^{3} + C_{5}^{3} - 4!$ ；

(2)、 $C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + C_{6}^{3} + C_{7}^{3}$ ．

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7、已知函数 $f (x) = \sin x - \frac{1}{2} x$ ， $x \in (0, π)$ ．若 $f (x)$ 在 $(a, a + 1)$ 上不单调，则实数a的取值范围为．

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8、 $(1 - \frac{x}{y}) {(x + y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{4} y^{4}$ 的系数为．

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9、随机变量 $X ~ B (3, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) =$ ．

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10、若函数 $f (x) = x^{3} e^{| x |}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 有且仅有1个零点 C、 $f (x)$ 有且仅有2个极值点 D、 $y = 4 e x + 3 e$ 是 $f (x)$ 的一条切线方程

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11、甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{3}{5}$ B、 $P (B ∣ A_{1}) = \frac{2}{3}$ C、 $P (A_{2} B) = \frac{3}{10}$ D、 $P (B) = \frac{17}{30}$

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12、已知 $a = \sqrt{5}$ ， $b = \ln (\sqrt{5} + 1)$ ， $c = \frac{5 - \sqrt{5}}{4}$ ，试比较 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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13、若 ${(- \frac{1}{\sqrt{x}} + 2 x)}^{n}$ 的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）

A、 $- 240$ B、 $- 60$ C、60 D、240

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14、语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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15、2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是 $y = - x + 8$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (5 + Δ x) - f (5)}{Δ x} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 3$ C、1 D、3

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16、下列求导过程错误的选项是（）

A、 ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ B、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${(a^{x})}^{'} = a^{x} \ln a$ D、 ${(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$

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17、无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙 $S200$ 系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离 $X$ （千米）服从正态分布 $X ~ N (15, σ^{2})$ ，记 $P (X > 15 - σ) = a$ ， $P (15 - σ < X < 15 + 3 σ) = b$ ，当 $σ$ 变小时，则（）

A、 $a$ 变大 B、 $b$ 变小 C、 $a + b$ 不变 D、 $a - b$ 变小

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18、学校要求学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这7科中选3科参加考试，不同的选法种数共有（）

A、10种 B、35种 C、105种 D、210种

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19、已知函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} - 3 x + b$ ，且当 $x = 3$ 时， $f (x)$ 有极值－5．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 4, 4]$ 上的值域．

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20、已知函数 $f (x) = x \ln x .$
（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点（e， $f (e)$ ）的切线方程；
（2）求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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