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相关试卷

1、已知集合 $A = {x ∣ |x - 2| < 2}$ ，则 $A \cap Z =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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2、对于定义在区间 $[m, n]$ 的函数 $f (x)$ ，定义： $G_{f} (x) = min \{f (t) ∣ m \leq t \leq x\} (x \in [m, n])$ ， $H_{f} (x) = max \{f (t) ∣ m \leq t \leq x\} (x \in [m, n])$ ，其中， $min \{f (x) ∣ x \in D\}$ 表示函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的最小值， $max \{f (x) ∣ x \in D\}$ 表示函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的最大值.

(1)、若 $f (x) = sin x$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，试写出 $G_{f} (x)$ 、 $H_{f} (x)$ 的表达式；

(2)、设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = - a^{2 x} + (a + 5) \cdot a^{x} + 1$ ， $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，如果 $H_{f} (x)$ 与 $f (x)$ 恰好为同一函数，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在最小正整数 $k$ ，使得 $H_{f} (x) - G_{f} (x) \leq k (x - m)$ 对任意的 $x \in [m, n]$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为 $[m, n]$ 上的“ $k$ 阶收缩函数”，已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ ， $x \in [- 1, 4]$ ，试判断 $f (x)$ 是否为 $[- 1, 4]$ 上的“ $k$ 阶收缩函数”，如果是，求出对应的 $k$ ，如果不是，请说明理由.

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3、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $B A$ 中点．

(1)、求 $A_{1} N$ 与 $C C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求平面 $A_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值；

(3)、求证 $N A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 平行．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2, A C = 4, ∠ B A C = 60 °$ ， M是 $B C$ 的中点，N是 $A C$ 上的点，且 $\vec{A N} = x \vec{A C}, A M, B N$ 相交于点P．设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、若 $x = \frac{1}{3}$ ，试用向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A M}, \vec{P N}$ ；

(2)、若 $A M ⊥ P N$ ，求实数x的值．

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5、已知集合 $A = \{x |\frac{1}{3} \leq 3^{x - 4} \leq 9\}$ ，集合 $B = \{x |{l o g}_{3} (1 + 2 x) > 2\}$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、已知 $C = \{x |x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 \leq 0\}$ ，若 $x \in C$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b cos C = 2 a + \sqrt{2} c$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{13}$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ ．

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7、已知函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，且 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$ ，则 $ω$ 的最小值为．

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8、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为棱 $A D$ ， $A B$ ， $B C$ 的中点，点 $P$ 为线段 $D_{1} F$ 上的动点，则（）

A、两条异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $45^{\circ}$ B、存在点 $P$ ，使得 $C_{1} G ∥$ 平面 $B E P$ C、对任意点 $P$ ，平面 $F C C_{1} ⊥$ 平面 $B E P$ D、点 $B_{1}$ 到直线 $D_{1} F$ 的距离为4

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9、下列说法正确的是（）

A、“ $a > 1, b > 1$ ”是“ $a b > 1$ ”成立的充分条件 B、命题 $p ： \forall x \in R, x^{2} > 0$ ，则 $\neg p ： \exists x \in R, x^{2} < 0$ C、命题“若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”是真命题 D、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”成立的充分不必要条件

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10、设 $m = {log}_{6} 2$ ， $n = {log}_{6} 3$ ，则 $m^{2} - n^{2} + 2 n + 4^{n} - 9^{m}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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11、已知 $f (x) = x^{3}$ ， $g (x) = sin x$ ，则右图表示的函数可能是（）

A、 $f (x) + g (x)$ B、 $f (x) - g (x)$ C、 $f (x) g (x)$ D、 $\frac{f (x)}{g (x)}$

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12、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ，若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、在 $△ A B C$ 中， $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4$ ，则最大角的余弦值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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14、已知 $M = \{(x, y) |y = \sqrt{x}\}$ ， $N = \{(x, y) |y = x\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{(0, 0), (1, 1)\}$ D、 $[0, + \infty)$

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15、设复数 $z = \frac{i}{1 - i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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16、如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为 $6 cm$ ，高为 $20 cm$ ，圆锥母线为 $10 cm$ .

(1)、计算该模型的体积.（结果精确到 $1 {cm}^{3}$ ）

(2)、现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元）

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17、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，点 $(2, 3)$ 在 $E$ 上．

(1)、求 $E$ 的方程．

(2)、设 $B$ 是双曲线 $E$ 的左顶点，过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $P 、 Q$ 两点，直线 $B P, B Q$ 分别与直线 $x = \frac{1}{2}$ 交于 $M 、 N$ 两点.试探究：是否存在定点 $T$ ，使得以 $M N$ 为直径的圆过点 $T$ ？若存在求点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是直角梯形， $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD， $P A = P B$ ， $A P ⊥ B P$ ， $B A = 2$ ， $B C = 1$ ， $A D = 3$ ，点E为线段PD上的动点．

(1)、若平面 $P B C \cap$ 平面 $P A D = l$ ，求证： $B C ∥ l$ ；

(2)、若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求 $\frac{P E}{P D}$ 的值．

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19、已知点 $A (2, 2)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = 16$ .
（1）若点 $P$ ､点 $Q$ 都为圆 $C$ 上的动点，且 $∠ P A Q = 90 °$ ，求弦 $P Q$ 中点所形成的曲线 $G$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 过点 $B (3, 2)$ ，且被（1）中曲线 $G$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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20、在平面直角坐标系xOy中，若直线 $y = k (x - 3 \sqrt{3})$ 上存在一点P，圆x²＋（y－1）²＝1上存在一点Q，满足 $\vec{O P} = 3 \vec{O Q}$ ，则实数k的最小值为．

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