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相关试卷

1、已知曲线 $C : a x^{2} + b y^{2} = (b + 1) x + a y (a, b \in R)$ ，则（）

A、曲线 $C$ 不可能是一个圆 B、曲线 $C$ 可能为一条直线 C、当 $a = 0$ 且 $b (b + 1) \neq 0$ 时，曲线 $C$ 的准线方程为 $x = - \frac{b + 1}{4 b}$ D、当 $a \neq 0, b = 0$ 时，曲线 $C$ 关于直线 $x = - \frac{1}{2 a}$ 对称

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2、设 $max \{a, b, c, d\}$ 表示 $a, b, c, d$ 中最大的数，已知 $x, y$ 均为正数，则 $max \{4 x, y, \frac{1}{x}, \frac{9}{y}\}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为 $C$ 的右支上一点， $∠ P F_{1} F_{2} = 20 °, ∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{sin 40 °}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2 sin 40 °}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{cos 40 °}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2 cos 40 °}$

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4、已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数， $f (1) = f (4) = 0$ ，当 $0 < x < 2$ 时， $f (x)$ 单调递减，当 $x > 2$ 时， $f (x)$ 单调递增，则不等式 $\frac{f (x)}{x - 3} \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1]\cup [0, 3] \cup[4, + \infty)$ B、 $[- 4, - 1] \cup (0, 1] \cup (3, 4]$ C、 $(- \infty, - 4] \cup [- 1, 1] \cup (3, + \infty)$ D、 $[- 4, - 1] \cup [0, 1] \cup (3, 4]$

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5、若函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} + a$ 在 $[- 6, - 4]$ 上单调递减，则a的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{9}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{9}]$ C、 $[- \frac{1}{6}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{6}]$

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6、小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（）

A、0.48 B、0.49 C、0.52 D、0.54

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7、若向量 $\vec{a} = (2, lg m), \vec{b} = (- 4, - 6)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、1000 B、 $10^{- \frac{4}{3}}$ C、 $100 \sqrt{10}$ D、100

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8、若复数 $z = \frac{i}{1 - 7 i}$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $- \frac{7}{50} - \frac{i}{50}$ B、 $- \frac{7}{50} + \frac{i}{50}$ C、 $\frac{7}{50} - \frac{i}{50}$ D、 $\frac{7}{50} + \frac{i}{50}$

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9、已知集合 $A = \{- 3, - \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, 3\}$ ，且 $B = \{x |x \notin Z 且 x^{2} \in Z\}$ 则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、直线 $l_{1}$ ： $x + y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x + 2 y - 5 = 0$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11、如图，在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ C B, P A = A C = 2 B C = 2$ ，则此四面体的外接球表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $9 π$ C、 $36 π$ D、 $48 π$

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12、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为.

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x {}_{2}+ a x + a}{x}, 且 a < 1$ .

(1)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性并证明；

(2)、在（1）的条件下，若 $m$ 满足 $f (3 m) > f (5 - 2 m)$ ，试确定 $m$ 的取值范围.

(3)、设函数 $g (x) = x \cdot f (x) + | x^{2} - 1 | + (k - a) x - a, k$ 为常数.若关于 $x$ 的方程 $g (x) = 0$ 在 $(0, 2)$ 上有两个解 $x_{1}, x_{2}$ ，求 $k$ 的取值范围，并比较 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 与4的大小.

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 上的点，过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $D$ 的截面交 $B C$ 于 $E$

(1)、证明： $D E / / A B$ ；

(2)、若二面角 $B_{1} - D E - B$ 的大小为 $60 °$ ，求几何体 $C D E - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

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15、已知函数 $f (x) = \frac{(\sqrt{3} \cos x - \sin x) \sin 2 x}{2 \cos x} + \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值.

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间.

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16、设角 $A, B, C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，已知向量 $\vec{m} = (\sin A + \sin C, \sin B - \sin A)$ ， $\vec{n} = (\sin A - \sin C, \sin B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .
（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；
（Ⅱ）若向量 $\vec{s} = (0, - 1), \vec{t} = (\cos A, 2 \cos^{2} \frac{B}{2})$ ，试求 $|\vec{s} + \vec{t}|$ 的取值范围

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17、某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 构成面积为 ${200m}^{2}$ 的十字形区域，且计划在正方形 $M N P K$ 上建一座花坛，其造价为 $4200$ 元/ $m^{2}$ ，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为 $210$ 元/ $m^{2}$ ，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为 $80$ 元/ $m^{2}$ .

(1)、设 $A D$ 的长为 $x$ 米，试写出总造价 $Q$ (单位：元)关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、问：当 $x$ 取何值时，总造价最少？求出这个最小值.

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18、已知△ABC的外接圆圆心为O，且 $2 \overset{⃑}{A O} = \overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C}$ ， $|\overset{⃑}{O A}| = |\overset{⃑}{A B}|$ ，则向量 $\overset{⃑}{B A}$ 在向量 $\overset{⃑}{B C}$ 上的投影向量为．

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19、如图1所示，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $E$ 、 $F$ 、 $M$ 分别为 $B C$ 、 $C D$ 、 $B E$ 的中点，分别沿 $A E$ 、 $A F$ 及 $E F$ 所在直线把 $△ A E B$ 、 $△ A F D$ 和 $△ E F C$ 折起，使 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点重合于点 $P$ ，得到如图2所示的三棱锥 $P - A E F$ ，则下列结论中正确的有（）

A、三棱锥 $M - A E F$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ B、异面直线 $A M$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{34}}{34}$ C、过点 $M$ 的平面截三棱锥 $P - A E F$ 的外接球，所得截面的面积的最小值为 $\frac{π}{4}$ D、过点 $M$ 的平面截三棱锥 $P - A E F$ 的外接球，所得截面的面积的最大值为 $\frac{3 π}{2}$

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20、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60^{o}$ ， $D$ 是边 $B C$ 上的一点，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ B、 $△ A B C$ 外接圆的半径是 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ C、若 $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ ，则 $\vec{A B} = \frac{3}{2} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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