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相关试卷

1、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $B, D$ 在以线段 $A C$ 为直径的圆 $O$ 上运动，且 $B, D, O$ 三点共线，点 $M, N$ 分别是线段 $B C, C_{1} D_{1}$ 的中点，下列说法中正确的有（）

A、存在点 $B$ ，使得平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 不垂直 B、当直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积最大时，直线 $A_{1} C$ 与直线 $A B_{1}$ 垂直 C、当 $A B = 2$ 时，过点 $A_{1}, B, N$ 的平面截该四棱柱所得的截面周长为 $2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2}$ D、当 $A B = 2$ 时，过 $M N$ 的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为 $\frac{5 π}{2}$

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2、点 $M$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点，以 $M$ 为圆心的圆与 $x$ 轴相切于椭圆的焦点 $F$ ，圆 $M$ 与 $y$ 轴相交于 $P, Q$ 两点，若 $△ P Q M$ 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(2 - \sqrt{3}, 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{5} - 1}{2})$

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3、已知递减等差数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2024}$ 是方程 $x^{2} - 2025 x + 2024 = 0$ 两个实根，当 $a_{n} = 0$ 时， $n =$ （）

A、2026 B、2025 C、1012 D、2

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4、如图，设 $△ A B C$ 中角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A D$ 为 $B C$ 边上的中线，已知 $c = 1$ 且 $2 c \sin A \cos B = a \sin A - b \sin B + \frac{1}{4} b \sin C, \cos ∠ B A D = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .
（1）求b边的长度；
（2）求 $△ A B C$ 的面积；
（3）设点 $E, F$ 分别为边 $A B, A C$ 上的动点，线段 $E F$ 交 $A D$ 于G，且 $△ A E F$ 的面积为 $△ A B C$ 面积的一半，求 $\vec{A G} \cdot \vec{E F}$ 的最小值.

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2为菱形， $∠ D A B = 60^{\circ}, △ P A D$ 是以 $P A$ 为斜边的等腰直角三角形， $F, G$ 分别是 $P B, C D$ 的中点.

(1)、求证： $G F$ $/ /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、设 $E$ 为 $A B$ 的中点，过 $E, F, G$ 三点的截面与棱 $P C$ 交于点 $Q$ ，指出点 $Q$ 的位置并证明.

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6、我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [{(a b)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ，若 ${cos}^{2} C - {cos}^{2} A - {cos}^{2} B = sin A sin B - 1$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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7、若 $\vec{a} = (λ, 4)$ ， $\vec{b} = (3, 5)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是.

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8、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长相等，且六个顶点都在球 $O$ 的球面上，记正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，球 $O$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}} =$ （）

A、 $\frac{14 \sqrt{7} π}{27}$ B、 $\frac{7 \sqrt{7} π}{54}$ C、 $\frac{7 \sqrt{7} π}{18}$ D、 $\frac{14 \sqrt{7} π}{9}$

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9、如图，在海面上有两个观测点 $B$ ， $D$ ，点 $B$ 在 $D$ 的正北方向，距离为 $3 km$ ，在某天10：00观察到某商船在 $C$ 处，此时测得 $∠ C B D = 45^{\circ}$ ， 5分钟后该船行驶至 $A$ 处，此时测得 $∠ A B C = 30^{\circ}$ ， $∠ A D B = 60^{\circ}$ ， $∠ A D C = 30^{\circ}$ ，则该船行驶的距离 $A C =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} km$ B、 $3 \sqrt{2} km$ C、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2} km$ D、 $3 \sqrt{6} km$

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10、在 $△ A B C$ 中，下列命题不正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ B、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 一定为等腰三角形 C、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解

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11、已知 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{A B} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{C B} = k \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{C D} = 3 \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ ，若 $A, B, D$ 三点共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 12$ C、4 D、5

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12、下列结论正确的是（）

A、两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线. B、两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. C、如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. D、若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.

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13、在复平面内， $(1 - i) (4 + 3 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 3 x) e^{x}, g (x) = a ln x (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设函数 $h (x) = \frac{f^{'} (x)}{2 x + 3} - g (x)$ 有且只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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15、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A C = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点，动点 $P$ 在直线 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ .

(1)、是否存在点 $P$ ，使得 $A M ⊥ P N$ ？若存在，试确定点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $λ$ 取何值时，直线 $P N$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ；

(3)、求动点 $P$ 到直线 $M N$ 的距离的取值范围.

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16、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $\sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 2 a c sin B$ ，求：

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $B C$ 边中线 $A D$ 长的最小值.

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17、2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间 $x$ （单位： $s$ ）与位移 $y$ （单位： $m$ ）之间的关系，得到如下表数据：
$x$
2.8
2.9
3
3.1
3.2
$y$
24
25
29
32
34
画出散点图观察可得 $x$ 与 $y$ 之间近似为线性相关关系.

(1)、求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、记 ${\hat{e}}_{i} = y_{i} - {\hat{y}}_{i} = y_{i} - \hat{b} x_{i} - \hat{a}$ ，其中 $y_{i}$ 为观测值， ${\hat{y}}_{i}$ 为预测值， ${\hat{e}}_{i}$ 为对应 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差，求前3项残差的和.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 45.1, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 434.7$ ，参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x^{2}}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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18、若不等式 $a x^{2} + 5 x - 2 > 0$ 的解集是 $\{x | \frac{1}{2} < x < 2\}$ ，
（1）求a的值；
（2）求不等式 $a x^{2} - 5 x + a^{2} - 1 > 0$ 的解集；
（3）求不等式 $\frac{a x + 1}{x + 2} \leq 0$ 的解集.

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19、不等式 $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ 的解集为.

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20、学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为.

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$x$	2.8	2.9	3	3.1	3.2
$y$	24	25	29	32	34