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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} m (x^{2} - 1) - \ln x (x \in R)$ ．
（1）若 $m = 1$ ，求证： $f (x) \geq 0$ ．
（2）讨论函数 $f (x)$ 的极值；
（3）是否存在实数 $m$ ，使得不等式 $f (x) > \frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x - 1}}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立？若存在，求出 $m$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

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2、张先生家住 $H$ 小区，他在 $C$ 科技园区工作，从家开车到公司上班有 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 两条路线(如图)， $L_{1}$ 路线上有 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 三个路口，各路口遇到红灯的均为 $\frac{1}{2}$ ； $L_{2}$ 上有 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{3}{5}$ .
（1）若走 $L_{1}$ 路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走 $L_{2}$ 路线，求他遇到红灯的次数 $X$ 的分布列和数学期望.

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3、设 ${(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，且 $C_{n}^{2} = C_{n}^{8}$ ．

(1)、求 $n$ 与 $a_{0}$ 的值；

(2)、求 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10}$ 的值．

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4、在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为．

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5、在某项测量中，测量结果 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $X$ 在 $(0, 2)$ 内取值的概率为 $0.8$ ，则 $X$ 在 $[0, + \infty)$ 内取值的概率为．

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6、设曲线 $f (x) = a x - \ln x$ 的图象在点(1， $f (1)$ )处的切线斜率为2，则实数a的值为．

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7、已知 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（）

A、 $n = 6$ B、展开式的各项系数和为243 C、展开式中奇数项的二项式系数和为16 D、展开式中有理项一共有3项

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8、若随机变量 $X$ 服从两点分布，其中 $P (X = 0) = \frac{1}{4}, E (X), D (X)$ 分别为随机变量 $X$ 的均值和方差，则（）

A、 $P (X = 1) = \frac{3}{4}$ B、 $E (X) = \frac{1}{4}$ C、 $D (X) = \frac{3}{16}$ D、 $E (4 X + 1) = 4$

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9、已知函数 $f (x) = a x^{3} (a > 2)$ ， $g (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 1$ ，若在区间 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上，函数 $f (x)$ 的图象恒在函数 $g (x)$ 图象的上方，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $3 < a < 5$ B、 $2 < a < 2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} < a < 5$ 或 $2 < a < 2 \sqrt{2}$ D、 $2 < a < 5$

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10、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $[- 1, 5]$ ，部分对应值如表， $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示. 下列关于函数 $f (x)$ 的结论正确的有（）
$x$
$- 1$
$0$
$2$
$4$
$5$
$f (x)$
$1$
$2$
$0$
$2$
$1$

A、函数 $f (x)$ 的极大值点有 $2$ 个 B、函数在 $f (x)$ 上 $[0, 2]$ 是减函数 C、若 $x \in [- 1, t]$ 时， $f (x)$ 的最大值是 $2$ ，则 $t$ 的最大值为4 D、当 $1 < a < 2$ 时，函数 $y = f (x) - a$ 有 $4$ 个零点

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11、从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为（）

A、56 B、28 C、24 D、12

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12、若随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，且 $E (X) = 6$ ， $D (X) = 5$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{6}$

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13、若 ${(2 - x)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中常数项为32，则 $n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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14、下列函数求导正确的是（）

A、 ${(\sin x)}^{'} = \cos x$ B、 ${(\ln 2)}^{'} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x^{4})}^{'} = x^{3}$ D、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$

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15、已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.

(1)、从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量 $X$ 为1号球的个数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率.

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16、若二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 $x^{7}$ 的项的系数是.

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17、已知函数 $f (x) = e^{a x} - \ln (x + 1)$ （ $a > 0$ ）．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 为曲线 $y = f (x)$ 上任意两点，且A，B关于点 $(0, b)$ 对称．
（ⅰ）求b的取值范围；
（ⅱ）若 $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) \leq 0$ ，求a的取值范围．

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18、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $\{\frac{2^{n} a_{n}}{n}\}$ 为等差数列， $\{\frac{a_{n}}{n (n + 1)}\}$ 为等比数列， $a_{1} = 1$ ．

(1)、求 $a_{2}$ 的值，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、探究 $\{a_{n}\}$ 是否存在唯一的最大项；

(3)、证明： $S_{n} < 8$ ．

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19、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C C_{1} = 2$ ， E，F分别为棱AB， $A_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长；

(2)、设T为线段 $D_{1} C_{1}$ 上一点，当平面 $C E F ⊥$ 平面 $A_{1} D T$ 时，求平面TCF与平面CEF夹角的余弦值．

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20、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 2$ ， $b \sin C + c \sin B = b \cos C + c \cos B$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ ，求 $b c$ 的值．

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$x$	$- 1$	$0$	$2$	$4$	$5$
$f (x)$	$1$	$2$	$0$	$2$	$1$