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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ， $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的模长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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2、已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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3、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + 1}{i - 1} = |2 + i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $i$ C、1 D、 $\sqrt{5} i$

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4、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $|S_{n}| = n$ ，则 $|a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{10}|$ 的值不可能为（）

A、96 B、98 C、100 D、102

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5、已知正数 $m, n$ 满足 $\frac{1}{m} + \frac{3}{n} = 2$ ，则 $m + 3 n$ 的最小值为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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6、如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $A C = B C$ ， M是半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上异于A，B的动点，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B M$ ．设O，N分别为 $A B$ ， $A M$ 的中点， $∠ M A B = α$ ，三棱锥 $A - B C M$ 体积的最大值为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $O C N$ ；

(2)、当 $α = \frac{π}{6}$ 时，求二面角 $C - A M - B$ 的正切值；

(3)、求点N到平面 $B C M$ 的距离（用 $α$ 表示）．

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7、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x + m (x \in R)$ 的最小值为 $- 1$ ．

(1)、求m的值；

(2)、当 $x \in [0, n] (n > 0)$ 时，函数 $f (x)$ 的取值范围是 $[- \frac{1}{2}, 1]$ ，求n的取值范围；

(3)、当 $x \in [0, π]$ 时，求方程 $6 f^{2} (x) - f (x) - 2 = 0$ 所有实数根的和．

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8、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \sqrt{3} a c \sin B$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $4 π$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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9、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， M，N分别是 $P B$ ， $P C$ 的中点．

(1)、求证： $M N ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ．

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10、已知 $A (1, \sqrt{3})$ ， $B (- 2, y)$ ， $C (4, 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{A B} / / \vec{B C}$ ， O为坐标原点．

(1)、求向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积．

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11、十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”它的答案是：当三角形的三个角均小于 $120 °$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成 $120 °$ 角；当三角形有一内角大于或等于 $120 °$ 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中，所求的点称为费马点．在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $a^{2} - {(b - c)}^{2} = 3$ ， $\tan A + \tan B = \frac{\sqrt{3} c}{a \cos B}$ ．若点P为 $△ A B C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ ．

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12、若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为．

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13、已知复数 $z = 1 - i$ （i为虚数单位），则 $|3 z - \bar{z}| =$ ．

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14、数学家威廉·邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就能完整传达数学定理的证明．如图， $A B C D$ 为矩形，则（）．

A、 $A D = \sin 2 x$ B、 $D E = \cos 2 x$ C、 $C E = \cos^{2} x$ D、 $\frac{S_{△ E F C}}{S_{△ A B F}} = \tan^{2} x$

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15、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，则（）．

A、 $M N ∥ C D$ B、 $A B ⊥ E F$ C、 $E F$ 与 $M N$ 所成的角为 $60 °$ D、 $A M ⊥$ 平面 $B E F$

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16、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）．

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{8})$ C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $[k π + \frac{π}{8}, k π + \frac{5 π}{8}] (k \in Z)$ D、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{12})$ 的图象

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17、某船在海面上航行至 $A$ 处，测得山顶 $P$ 位于其正西方向，且仰角为 $45^{\circ}$ ，该船继续沿南偏东 $30^{\circ}$ 的方向航行 $600$ 米至 $B$ 处，测得山顶 $P$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，则该山顶高于海面（）

A、 $300$ 米 B、 $400$ 米 C、 $500$ 米 D、 $600$ 米

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18、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）．

A、12 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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19、设m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面．下列命题中正确的是（）．

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ∥ n$ ，则 $α // β$ D、若 $m // α$ ， $n // β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = \frac{1}{3} A B$ ，点E是 $C D$ 的中点．设 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）．

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$

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