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相关试卷

1、若 $tan α = 2$ ， $tan (α - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $sin 2 β =$ .

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2、若 $0 < a < b < 1$ ，则下列不等式一定成立的是（　　）

A、 $a^{b} < b^{a}$ B、 $a^{b} b^{a} < a^{a} b^{b}$ C、 $a^{a} < b^{b}$ D、 $a^{a} + b^{b} > 1$

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3、设 $k \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} + k e^{- x} ，$ 则下列结论正确的是（）

A、若 $k = 1$ ，则 $f (x)$ 为偶函数 B、若 $k > 0$ ，则 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{k}$ C、若 $f (x)$ 为增函数，则 $k$ 的取值范围为 $(- \infty, 1)$ D、若曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = l n 2$ 对称，则 $k = 4$

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4、下列说法正确的是（）

A、 $\sin 2 \cos 3 > 0$ B、终边落在直线 $x + y = 0$ 上的角的集合是 ${α | α = \pm \frac{π}{4} + k π, k \in Z}$ C、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的面积为 $\frac{3 π}{2}$ ，则扇形的弧长为 $π$ D、函数 $y = tan (2 x - \frac{π}{6})$ 的定义域为 ${x | x \neq \frac{π}{3} + \frac{k π}{2}, k \in Z}$

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |ln x|, x > 0 \\ e^{x}, x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - |x - k|$ 恰有2个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, e)$ B、 $(- \infty, - 1]\cup[e, + \infty)$ C、 $(- 1, 1]$ D、 $(- \infty, - 1) \cup [1, + \infty)$

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6、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = \{\begin{matrix} {l o g}_{2} (2 - x), x \leq 0 \\ f (x - 3), x > 0 \end{matrix} ，$ 则 $f (2026)$ 等于（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7、函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) \cdot e^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8、下列函数中既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $f (x) = - x^{3}$ B、 $f (x) = 2^{| x |}$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{x}$

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9、设全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{0, 1, 4\}$ ， $B = \{0, 1, 3\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = \{0, 1\}$ B、 $∁_{U} B = \{4\}$ C、 $A \cup B = \{0, 1, 3, 4\}$ D、集合A的真子集个数为 $8$

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10、设集合 $A = \{2, x, x^{2}\}$ ，若 $1 \in A$ ，则 $x$ 的值为

A、 $- 1$ B、 $\pm 1$ C、 $1$ D、 $0$

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11、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， BC的中点为 $O$ ，则 $\vec{O B_{1}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

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12、已知直线 $k x - y - k - 1 = 0$ 和以 $M (- 3, 1)$ ， $N (3, 2)$ 为端点的线段相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $- \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$ B、 $- 2 \leq k \leq \frac{2}{3}$ C、 $k \leq - \frac{1}{2}$ 或 $k \geq \frac{3}{2}$ D、 $k \leq - 2$ 或 $k \geq \frac{2}{3}$

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13、如图1， $△ A B C$ 是底边为2的等腰三角形，且 $B A = B C = \sqrt{3}$ ， $△ D A C$ 为等腰直角三角形， $∠ C D A = 90 °$ ，将 $△ D A C$ 沿 $A C$ 翻折到 $△ P A C$ 的位置，且点 $P$ 不在平面 $A B C$ 内（如图2），点 $F$ 为线段 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、当平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C B$ 时，求直线 $P B$ 与平面 $A C F$ 所成角的余弦值；

(3)、若直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ 时，设平面 $P A C$ 与平面 $A B C$ 的夹角为 $α$ ，求 $\cos α$ 的值．

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14、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长为 $2$ ，侧棱长为 $2$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $A_{1} C_{1}$ 上是否存在一点 $E$ ，使得点 $B_{1}$ 到平面ADE的距离为 $\frac{8 \sqrt{37}}{37}$ ?若存在，请求出 $\frac{A_{1} E}{A_{1} C_{1}}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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15、已知在 $\begin{matrix} △ \end{matrix} A B C$ 中， $A B$ 边上的高所在的直线方程为 $x - y = 0, A C$ 边上的高所在的直线方程为 $3 x + 4 y - 9 = 0$ ，点A的坐标为 $(1, 2)$ . 求：

(1)、边 $A B$ 与边 $A C$ 所在的直线方程；

(2)、边 $B C$ 所在的直线方程；

(3)、 $\begin{matrix} △ \end{matrix} A B C$ 的面积.

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16、如图， D是正四面体 $O A B C$ 的棱 $B C$ 的中点，点E在线段 $O D$ 上，点P在线段 $A E$ 上，且 $D E = \frac{1}{2} O E$ ， $A P = \frac{3}{4} A E$ ，设向量 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{O P}$ 和 $\vec{D P}$ ；

(2)、若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度.

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17、三角形的三个顶点是 $A (4, 0), B (6, 7), C (0, 3)$ .

(1)、求 $B C$ 边上的高所在直线的方程.

(2)、求 $B C$ 边的垂直平分线的方程.

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18、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 和 $△ A B C$ 都是等边三角形， $A B = 2$ ， $P C = \sqrt{3}$ ， $D$ 为棱 $A B$ 上一点，则 $\vec{P D} \cdot \vec{C D}$ 的最小值是．

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19、直线 $l : x {cos}^{2} θ - y + 2 = 0$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围是．

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20、在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马 $P - A B C D$ 中，若 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A B = 2$ ，异面直线 $P D$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ，则 $A D =$ .

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