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相关试卷

1、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $, A B = 2, E, F$ 分别是 $A D, C C_{1}$ 的中点.下列说法正确的是（）

A、 $E F //$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ B、异面直线 $E F$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、过 $B ､ E ､ F$ 三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 $\frac{7 \sqrt{5}}{2}$ D、若点 $M$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上运动，且点 $M$ 到点 $A$ 的距离与到点 $E$ 的距离之比为 $\sqrt{2}$ ，则点 $M$ 的轨迹长度为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} π$

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2、某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（）
成绩
$(70, 75]$
$(75, 80]$
$(80, 85]$
$(85, 90]$
$(90, 95]$
$(95, 100]$
频数
6
12
18
30
24
10

A、这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B、这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C、这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D、这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x) \geq \frac{1}{2} [f (x + 1) + f (x - 1)]$ ，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 的解析式可以是（）

A、 $f (x) = ln (x + 1)$ B、 $f (x) = 2 x$ C、 $f (x) = e^{x} - 1$ D、 $f (x) = x^{2}$

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4、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，过圆 $M : {(x + 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 25$ 上一点P作圆O的两条切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，则四边形 $O A P B$ 面积的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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5、设A，B是一个随机试验中的两个事件，若 $P (\bar{B}) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{A} B) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6、已知二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ .

(1)、求展开式中的常数项；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项.

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7、已知离散型随机变量X满足 $D (X) = 0.01$ ，且 $Y = 10 X + 1$ ，则 $D (Y) =$ （）

A、1 B、0.1 C、0.01 D、1.01

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8、函数 $f (x) = x^{0} + \sqrt{(x + 4) (1 - x)}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty, - 4] \cup [2, + \infty)$ B、 $(- 4, 0] \cup (0, 1)$ C、 $[- 4, 0) \cup (0, 1]$ D、 $[- 4, 0) \cup (0, 1)$

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9、已知函数 $y ＝ f (x)$ ，其导函数 $y ＝ f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $y ＝ f (x)$ （）

A、在 $(－ \infty ， 0)$ 上为减函数 B、在 $x = 0$ 处取极小值 C、在 $(1 ， 2)$ 上为减函数 D、在 $x = 2$ 处取极大值

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10、如图，圆 $E : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16, F (1, 0)$ 是圆 $E$ 内一个定点， $M$ 是圆 $E$ 上任意一点．线段 $M F$ 的垂直平分线 $l$ 和半径 $E M$ 相交于点 $N$ ，当点 $M$ 在圆上运动时，记动点 $N$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设曲线 $C$ 与 $x$ 轴从左到右的交点为点 $A, B$ ，点 $P$ 为曲线 $C$ 上异于 $A, B$ 的动点，设 $P A$ 交直线 $x = - 4$ 于点 $T$ ，连结 $B T$ 交曲线 $C$ 于点 $Q$ ，直线 $B P, B Q$ 的斜率分别为 $k_{B P}, k_{B Q}$ ．
（ⅰ）求证： $k_{B P} \cdot k_{B Q}$ 为定值；
（ⅱ）证明：直线 $P Q$ 经过 $x$ 轴上的定点，并求出该定点的坐标．

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11、已知 $f (x) = sin x, g (x) = ln (x + 1), π \approx 3.142, e \approx 2.718$

(1)、（i）证明：当 $x > 1$ 时， $g (x - 1) < \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ ；
（ii）当 $x \in (0, \frac{π}{4})$ 时，试确定 $m = f (x) - g (tan x)$ 的符号.

(2)、若 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，试说明 $y = h (x)$ 在 $(0, π)$ 内有唯一零点.

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12、已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $f (\ln 2) f (\ln 4) = 8$ ，则 $a =$ ．

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13、对于数集 $A = \{- 1, a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ ，其中 $0 < a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{n}$ ， $n \geq 2$ ，定义“伴随向量集” $B = \{\vec{b}| \vec{b} = (s, t), s \in A, t \in A\}$ ．若对任意 $\vec{b_{1}} \in B$ ，存在 $\vec{b_{2}} \in B$ ，使得 $\vec{b_{1}} \cdot \vec{b_{2}} = 0$ ，则称A为“好集”．

(1)、已知数集 $A_{1} \in \{- 1, \frac{1}{2}, 1\}$ ，请写出数集 $A_{1}$ 的“伴随向量集” $B_{1}$ ，并判断 $A_{1}$ 是否为“好集”（不需要证明）；

(2)、若有限集 $A = \{- 1, a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ 为“好集”，求证： $1 \in A$ ，且当 $0 < a_{1} < 1$ 时， $a_{n} = 1$ ；

(3)、若有限集 $A = \{- 1, a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ 为“好集”，且 $a_{n - 1} = q, a_{n} = 1$ ，求 $a_{1}$ ．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + (a + 1) x + \ln x, a \in R$ ．

(1)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知关于x的方程 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + x$ 有两个解 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ） $λ$ 为正实数，若当 $s = λ (x_{1} + x_{2})$ 时，都有 $f^{'} (s) < 0$ ，求 $λ$ 的取值范围．

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15、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ．

(1)、若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为 $(3, 3)$ ，求直线l的方程；

(2)、若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点 $M (t, 0) (t < 0)$ ，使得 $∠ P F M = 2 ∠ P M F$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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16、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，且 $A_{1} A ⊥ B C$ ．

(1)、求证： $A_{1} B = A_{1} C$ ；

(2)、若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4 \sqrt{3}, A_{1} A = 2$ ，求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值．

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17、为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：
高一年级成绩分布表
成绩
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
人数
1
2
3
4
10
高二年级成绩频率分布直方图

(1)、从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率；

(2)、用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量 $X$ 表示这三人中成绩不低于90分的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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18、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，在其内部放入两个相外切的球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ （可与正方体表面相切），半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ ，则 $r_{1} + r_{2}$ 的最大值为．

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{\cos A} = 2, b + c = 2 a \cos B + 2 a \cos C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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20、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ 、 $F_{2} (1, 0)$ ，以 $F_{2}$ 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于 $M$ 、 $N$ 两点，若直线 $M F_{1}$ 与圆 $F_{2}$ 相切，则 $a =$ ．

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成绩	$(70, 75]$	$(75, 80]$	$(80, 85]$	$(85, 90]$	$(90, 95]$	$(95, 100]$
频数	6	12	18	30	24	10

成绩	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
人数	1	2	3	4	10