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相关试卷

1、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， BC的中点为 $O$ ，则 $\vec{O B_{1}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

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2、已知直线 $k x - y - k - 1 = 0$ 和以 $M (- 3, 1)$ ， $N (3, 2)$ 为端点的线段相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $- \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$ B、 $- 2 \leq k \leq \frac{2}{3}$ C、 $k \leq - \frac{1}{2}$ 或 $k \geq \frac{3}{2}$ D、 $k \leq - 2$ 或 $k \geq \frac{2}{3}$

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3、如图1， $△ A B C$ 是底边为2的等腰三角形，且 $B A = B C = \sqrt{3}$ ， $△ D A C$ 为等腰直角三角形， $∠ C D A = 90 °$ ，将 $△ D A C$ 沿 $A C$ 翻折到 $△ P A C$ 的位置，且点 $P$ 不在平面 $A B C$ 内（如图2），点 $F$ 为线段 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、当平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C B$ 时，求直线 $P B$ 与平面 $A C F$ 所成角的余弦值；

(3)、若直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ 时，设平面 $P A C$ 与平面 $A B C$ 的夹角为 $α$ ，求 $\cos α$ 的值．

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4、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长为 $2$ ，侧棱长为 $2$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $A_{1} C_{1}$ 上是否存在一点 $E$ ，使得点 $B_{1}$ 到平面ADE的距离为 $\frac{8 \sqrt{37}}{37}$ ?若存在，请求出 $\frac{A_{1} E}{A_{1} C_{1}}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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5、已知在 $\begin{matrix} △ \end{matrix} A B C$ 中， $A B$ 边上的高所在的直线方程为 $x - y = 0, A C$ 边上的高所在的直线方程为 $3 x + 4 y - 9 = 0$ ，点A的坐标为 $(1, 2)$ . 求：

(1)、边 $A B$ 与边 $A C$ 所在的直线方程；

(2)、边 $B C$ 所在的直线方程；

(3)、 $\begin{matrix} △ \end{matrix} A B C$ 的面积.

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6、如图， D是正四面体 $O A B C$ 的棱 $B C$ 的中点，点E在线段 $O D$ 上，点P在线段 $A E$ 上，且 $D E = \frac{1}{2} O E$ ， $A P = \frac{3}{4} A E$ ，设向量 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{O P}$ 和 $\vec{D P}$ ；

(2)、若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度.

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7、三角形的三个顶点是 $A (4, 0), B (6, 7), C (0, 3)$ .

(1)、求 $B C$ 边上的高所在直线的方程.

(2)、求 $B C$ 边的垂直平分线的方程.

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8、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 和 $△ A B C$ 都是等边三角形， $A B = 2$ ， $P C = \sqrt{3}$ ， $D$ 为棱 $A B$ 上一点，则 $\vec{P D} \cdot \vec{C D}$ 的最小值是．

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9、直线 $l : x {cos}^{2} θ - y + 2 = 0$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围是．

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10、在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马 $P - A B C D$ 中，若 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A B = 2$ ，异面直线 $P D$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ，则 $A D =$ .

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11、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 3, A B = 2$ ，点P为线段 $A D_{1}$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $P B_{1} / /$ 平面 $B C_{1} D$ B、三棱锥 $P - B C_{1} D$ 的体积为定值3 C、三棱锥 $D_{1} - B C_{1} D$ 外接球的表面积为 $17 π$ D、直线 $P B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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12、已知直线 $l : - k x + y - 1 + 2 k = 0 (k \in R)$ 过定点 $Q$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 过定点 $Q (2, 1)$ B、若直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为 $- 3$ ，则 $k = \frac{1}{5}$ C、若直线 $l$ 不经过第四象限，则 $k$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2}]$ D、若直线 $l$ 分别交x，y轴正半轴于A，B，则当 $\vec{A Q} \cdot \vec{Q B}$ 取得最小值时，直线 $l$ 的方程为 $x + y - 3 = 0$

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13、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是锐角 B、空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C、若对空间中任意一点O，有 $\vec{O P} = \frac{1}{12} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{2}{3} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{a} - 2 \vec{b}| = 4$ ，且 $(\vec{b} + 2 \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{b}| = 2$

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14、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，那么直线 $B_{1} D_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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15、下列说法正确的是（）

A、直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直，则 $a = - 1$ B、经过点 $(2, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ C、直线 $l$ 过点 $A (3, 4)$ ，且与点 $B (- 3, 2)$ 的距离最远，则直线 $l$ 的方程是： $3 x - y - 5 = 0$ D、直线 $a x + 2 y + 6 = 0$ 与直线 $x + (a - 1) y + a^{2} - 1 = 0$ 互相平行，则 $a = - 1$

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16、已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (1, - 2, 0)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (2, 1, - 1)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 的关系是（）

A、 $l \cap α = P$ B、 $l ⊥ α$ C、 $l // α$ D、 $l \subset α$ 或 $l // α$

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17、已知四面体 $O A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点，则 $\vec{O A} + \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) =$ （）

A、 $\vec{A D}$ B、 $\vec{O D}$ C、 $\vec{B D}$ D、 $\vec{D O}$

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点坐标是 $(1 ， 0)$ ，短轴长是长轴长的 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $(0, - 1)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点，与 $x$ 轴交于 $P$ 点，点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $T$ ，直线 $D T$ 交 $x$ 轴于 $Q$ 点，求证： $|O P| \cdot |O Q|$ 为定值；

(3)、设椭圆 $E$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，直线 $m$ 交椭圆 $E$ 于 $M, N$ 两点（ $M, N$ 与 $A, B$ 均不重合），记直线 $A M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} - 2 k_{2} = 0$ ，设 $△ A M N$ ， $△ B M N$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，满足 $S_{n + 1} = 3 S_{n} + n + 1 (n \in N^{*}) .$

(1)、证明数列 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} (2 a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{\frac{(2 a_{n} + 1) (2 n - 1)}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $T_{n} .$

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20、社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年长者
年轻人
总计
喜欢阅读电子书
24
30
喜欢阅读纸质书
12
总计
60

(1)、请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 $90 %$ 的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；

(2)、若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d .$
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
$0.10$
$0.05$
$0.010$
$0.005$
$χ_{0}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$

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	年长者	年轻人	总计
喜欢阅读电子书		24	30
喜欢阅读纸质书	12
总计			60

$P (χ^{2} \geq k_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.005$
$χ_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$