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相关试卷

1、已知 $m \in R$ ，且 $\frac{m + 3 i}{1 + i} = 1 + 2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $|m - 2 i|$ 等于（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $P (2, y_{0})$ 到其焦点的距离为5，则 $p =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, \vec{b} = (- 2, 2), \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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4、设命题 $p$ ： $\exists n \in N$ ， $n^{2} > 2 n + 1$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall n \notin N, n^{2} \leq 2 n + 1$ B、 $\exists n \in N, n^{2} = 2 n + 1$ C、 $\exists n \in N, n^{2} \leq 2 n + 1$ D、 $\forall n \in N, n^{2} \leq 2 n + 1$

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5、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ ．

(1)、若 $a = \log_{2} 3$ ，求 $f (a)$ 的值；

(2)、根据函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

(3)、若存在 $x \in [4, 16]$ ，使得不等式 $f ({(\log_{2} x)}^{2} - m \log_{2} x + 1) - x + \frac{1}{x} \geq 0$ 成立，求实数m的取值范围．

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6、已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \cos x, \cos x - \sin x), \vec{n} = (2 \sin x, \cos x + \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x) (0 < x < π)$ 的单调递增区间；

(2)、在锐角三角形 $△ A B C$ 中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $f (A) = 1$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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7、设 $i$ 为虚数单位， $a \in R$ ，复数 $z_{1} = 2 + (a^{2} - 1) i, z_{2} = 1 - 2 i$ .且___________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答.
① $z_{1} + z_{2} \in R$ ；② $z_{1} z_{2} = 6 - 2 i$ ；③在复平面内复数 $z_{1}$ 对应的点在第一象限的角平分线上.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}} + b (b \in R)$ 是纯虚数，求实数 $b$ 的值.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

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8、已知 $\overset{⃑}{a}$ 、 $\overset{⃑}{b}$ 是非零向量， $\overset{⃑}{a} ⊥ (\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b})$ ，且 $|\overset{⃑}{a}| = 2 \sqrt{3}$ 、 $|\overset{⃑}{b}| = 4$ ．

(1)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $|3 \overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}|$ ．

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9、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是平面内三个非零向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{b} - \vec{c}| = |\vec{c} - \vec{a}| = 1$ ，则当 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角最小时， $|\vec{c}| =$ ．

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10、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 1, A = \frac{π}{3}, ∠ A$ 的角平分线交线段 $B C$ 于 $M$ ，则 $A M =$ .

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11、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 0)$ ，向量 $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量是（注：本题答案用坐标表示）

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12、如图，已知 $△ A B C ， △ D E F$ 均为等边三角形， $D ， E ， F$ 分别为 $B E ， C F ， A D$ 的中点， $P$ 为 $△ D E F$ 内一点 (含边界)． $\overset{⃑}{A P} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A C}$ ，下列说法正确的是（）

A、延长 $B E$ 交 $A C$ 于 $M$ ，则 $\overset{⃑}{C M} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{C A}$ B、若 $\overset{⃑}{O D} + \overset{⃑}{O E} + \overset{⃑}{O F} = \overset{⃑}{0}$ ，则 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心 C、若 $x + y = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹是一条线段 D、 $x + y$ 的最小值是 $\frac{1}{3}$

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13、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若 $a : b : c = 2 : 3 : 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A : B : C = 2 : 3 : 4$ B、 $\sin A + \sin C = 2 \sin B$ C、 $\cos C = \frac{1}{4}$ D、 $\sin A + \sin 2 C = 0$

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14、图象为如图的函数可能是（）

A、 $y = x \cdot \cos x$ B、 $y = x \cdot \sin x$ C、 $y = x \cdot |\cos x|$ D、 $y = x \cdot 2^{x}$

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15、有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $A B C D$ （如图），其中 $∠ A B C = 45^{\circ}$ ， $A D = C D = 1$ ， $B C ⊥ C D$ ，则这块菜地的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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16、对一个 $n$ 元数列 $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ ，规定一次洗牌操作为：先任选一个正整数 $k \in \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, n\}$ ，将前 $k$ 个数 $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{k}$ 在保证相对顺序不变的前提下，任意插入后 $n - k$ 个数 $a_{k + 1}, a_{k + 2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ （也保持相对顺序不变）中得到一个新的数列．例如：对数列 $1, 2, 3, 4, 5$ 进行一次洗牌，先选择 $k = 3$ ，然后数列可以变成 $1, 4, 5, 2, 3$ ，或者变成 $4, 1, 2, 5, 3$ ．特别地，如果取 $k = [\frac{n}{2}]$ （其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），且将 $a_{i} (1 \leq i \leq k)$ 放到 $a_{i + k}$ 的后面，则称这样一次洗牌为“完美洗牌”．

(1)、请写出数列 $2, 5, 4, 8$ 经过两次完美洗牌后得到的新的数列；

(2)、对任意给定的正整数 $n$ ，数列 $2^{n}, 2^{n} - 1, 2^{n} - 2, \cdot \cdot \cdot, 2, 1$ 能否经过有限次完美洗牌后变成 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 2^{n} - 1, 2^{n}$ ？并说明理由；

(3)、至少需要多少次洗牌才能将 $2025, 2024, \cdot \cdot \cdot, 1$ 变成 $1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2025$ ？

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17、小杜准备进行篮球定点投篮训练，有两种投篮方式，一种是跳投，投篮命中率为 $\frac{1}{2}$ ，另一种是颠投，投篮命中率为 $\frac{2}{3}$ ，每次投篮是否命中相互独立．

(1)、若小杜连续颠投10次，记进球次数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的期望；

(2)、小杜进行两种投篮方式的专项训练，第一种全部跳投，第二种全部颠投，每种训练中若没进就继续投，若投进则停止．记第一、二种训练投篮次数分别为 $X, Y (X, Y \in N^{*})$ ．
①求 $X + Y = 4$ 的概率；
②求 $Y = X + 1$ 的概率；（当 $0 < q < 1$ 时， $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ ）

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18、已知实数 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + a}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，试讨论 $f^{'} (x)$ 的极值点的个数．

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19、在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示.

月份	1	2	3	4	5	6
销售额（万元）	14	16	22	21	24	25

甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型：

模型① ${\hat{y}}^{(1)} = 2.2 x + 12.5$ ；模型② ${\hat{y}}^{(2)} = 13.2 e^{0.1 x}$ ，

两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表：

月份 $x_{i}$		1	2	3	4	5	6
销售额y（万元）		14	16	22	21	24	25
模型①	估计值	14.7	16.9	19.1	21.3	23.5	25.7
模型①	残差 ${\hat{e}}_{i}^{(1)}$	$- 0.7$	$- 0.9$	2.9	$- 0.3$	0.5	$- 0.7$
模型②	估计值	14.6	16.1	17.8	19.7	21.8	24.1
模型②	残差 ${\hat{e}}_{i}^{(2)}$	$- 0.6$	$- 0.1$	4.2	1.3	2.2	0.9

计算得到两个模型的残差平方和分别为： $\sum_{i = 1}^{6} {({\hat{e}}_{i}^{(1)})}^{2} = 10.54$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {({\hat{e}}_{i}^{(2)})}^{2} = 25.35$ ，

若定义：残差 ${\hat{e}}_{i}$ 的绝对值超过1.5的数据为异常数据.

(1)、请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？

(2)、在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）.

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 466$

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20、记数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $\{\frac{a_{n} + 1}{n}\}$ 是常数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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