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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $P D$ 的中点，若 $P A = A D = 2$ ， $C D = 4$ .

(1)、求证： $A F //$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求直线 $F C$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值.

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2、已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 5, 0)$ ， $B (3, - 3)$ ， $C (0, 2)$ ，求：

(1)、边 $A C$ 所在直线的方程；

(2)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 平行的直线方程；

(3)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 垂直的直线方程.

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3、两条平行线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 和 $l_{2} : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 的距离为.

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4、给出以下命题，其中正确的是（）

A、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ，直线m的方向向量为 $\vec{b} = (2, 1, - \frac{1}{2})$ ，则l与m垂直 B、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (0, 1, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, - 1, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、平面 $α 、 β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}} = (0, 1, 3), \vec{n_{2}} = (1, 0, 2)$ ，则 $α // β$ D、平面 $α$ 经过三个点 $A (1, 0, - 1), B (0, - 1, 0), C (- 1, 2, 0)$ ，向量 $\vec{n} = (1, u, t)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $u + t = \frac{5}{3}$

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为10 B、椭圆 $C$ 的一个顶点为 $(0, 5)$ C、椭圆 $C$ 的焦距为8 D、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{4}{5}$

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6、下列说法中，错误的是（）

A、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B、点 $(0, 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1, 1)$ C、直线 $x - a y - 2 = 0$ 经过定点 $(2, 0)$ D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程只有 $x + y - 2 = 0$

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7、平面四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{S A} = x \vec{S B} + y \vec{S C} + z \vec{S D}$ ，则实数组 $(x, y, z)$ 可能是（）

A、 $(1, - 1, 1)$ B、 $(1, 0, - 1)$ C、 $(1, 0, 1)$ D、 $(1, - 1, - 1)$

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8、已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} + 8 x + 8 = 0$ ，则圆C的半径为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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9、已知直线 $l$ 过 $A (- 1, 1)$ ， $B (- 1, 3)$ 两点，则直线 $l$ 的倾斜角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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10、已知 $x, y$ 为正实数，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{2 x + 3 y}{x y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{6} + 5$ D、 $2 \sqrt{6} - 5$

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11、已知 $f (x) = x + a \cdot x^{- 1}$ .

(1)、若 $a = 1, x \in [\frac{1}{2}, 3]$ ，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $a > 0, x > 0$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2 \sqrt{a}$ ；

(3)、若 $a = - 1, b \in R$ ，当 $b$ 变化时，求 $y = f^{2} (x) + b f (x) + 2, x \in [\frac{1}{2}, 2]$ 的最小值的最大值.

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12、已知幂函数 $f (x) = x^{k^{2} - 4 k + 3} (k \in Z)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = \frac{k^{x + 1} + 2}{k^{x} - 1}$ ；
①判断 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性并证明；
②解关于 $x$ 的不等式： $g (x^{2} - 3 x) \geq g (- 2)$ .

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13、已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 6 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 2 m + 1]$ 上单调递增，求实数 $m$ 的取值范围.

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14、（1）求值： ${(\frac{1}{125})}^{- \frac{1}{3}} + {(π - 1)}^{0} - {[{(- 2)}^{2}]}^{\frac{3}{2}} + {(\sqrt[3]{3} \times \sqrt[4]{\frac{1}{4}})}^{6}$ ；
（2）已知 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，求 $\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}}{x^{3} + x^{- 3}}$ 的值.

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15、已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x - 12 \leq 0}, B = {x | m + 1 \leq x \leq 3 m - 1}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、已知 $m > 2, m^{x} + \frac{1}{m^{x}} \leq 6$ 对 $\forall x \in [1, 2]$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围为.

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17、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{x}, x > \frac{1}{3} \\ f (x + 1) - 1, x \leq \frac{1}{3} \end{array}$ ，则 $f (\frac{1}{2}) + f (- \frac{7}{6}) =$ .

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18、已知 $- 2 < a < - 1, 2 < b < 4$ ，则 $\frac{a^{2}}{b}$ 的取值范围为.

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19、定义在 $[1, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：① $x \in [1, 2), f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ ， ②当 $x \geq 2$ 时， $f (x - 1) = \frac{1}{2} f (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(3, \frac{7}{2})$ 上单调递增 B、 $\forall x \in [2, 3), f (x) \geq \frac{k - k^{2}}{4}$ 恒成立，则 $k \leq - 1$ 或 $k \geq 2$ C、 $f (\frac{3}{2}) = f (\frac{10 - \sqrt{2}}{4})$ D、当 $x \in [3, 4)$ 时， $f (x) < - \frac{3}{4}$ 的解集为 $\{x |\frac{13}{4} < x < \frac{15}{4}\}$

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20、已知实数 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b = a + b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ B、 $a + b$ 的最大值是4 C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是8 D、 $a^{3} + b^{3}$ 的最大值为16

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