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相关试卷

1、某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（）

A、72 B、54 C、48 D、36

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2、已知 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1$ 上一点，则C的焦距为（）

A、1 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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3、已知离散型随机变量X的分布列为 $P (X = i) = a i^{2} (i = 1, 2, 3)$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{13}$ C、 $\frac{1}{14}$ D、 $\frac{1}{15}$

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b \sin B - c \sin C + (c - a) \sin A = 0$ ．

(1)、求角B；

(2)、如图， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点D，且 $a = 3$ ， $c = 4$ ，
（i）求 $B D$ 的长度；
（ii）若 $A B$ 边上的中线 $C E$ 与 $B D$ 相交于点F，求 $∠ D F E$ 的余弦值．

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5、某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.

(1)、求甲第二次答题通过初赛的概率；

(2)、求乙通过初赛的概率；

(3)、求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.

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6、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A B = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ∥$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、若三棱锥 $B_{1} - A D C_{1}$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A A_{1}$ ．

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7、在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为．
（参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m， $\bar{x}$ ， $s_{1}^{2}$ ；n， $\bar{y}$ ， $s_{2}^{2}$ ，记总的样本平均数和样本方差为 $\bar{ω}$ ， $s^{2}$ ，其中 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{ω})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{ω})}^{2}])$ ．

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8、某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为．

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9、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P为 $B C$ 的中点，Q为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（）

A、直线 $A P$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ B、当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时，截面S的形状为等腰梯形 C、当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时，S与 $C_{1} D_{1}$ 交于点R，则 $C_{1} R = \frac{1}{4}$ D、当 $\frac{1}{2} < C Q < 1$ 时，直线 $P Q$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角正弦值的取值范围是 $(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{1}{2})$

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10、已知 $i$ 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、若 $z = {(1 + 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ， $|z| = \sqrt{2}$ D、若复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 3 + 4 i|$ 的最大值为6

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11、抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件 $N$ 表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件 $N$ 相互独立的是（）

A、第二次朝上的数字是奇数 B、第二次朝上的数字为2 C、两次朝上的数字之和为9 D、两次朝上的数字之和为10

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12、已知两个单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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13、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在线段 $A O$ 上，且 $|M A| = 2 |M O|$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{5}{3} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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14、若复数 $z = (m + 1) + (2 - m) i (m \in R)$ 是纯虚数，则 $|\frac{6 + 3 i}{z}| =$

A、3 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 16$ ， $S_{6} = 51$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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16、离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，一个焦点坐标为 $(2, 0)$ 的双曲线的标准方程为.

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17、假设某市场供应的N95口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
$50 %$
$30 %$
$20 %$
优质率
$80 %$
$90 %$
$70 %$
在该市场中任意买一 $N 95$ 口罩，用 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 分别表示买到的口罩为甲品牌､乙品牌､其他品牌， $B$ 表示买到的是优质品，用 $P (A)$ 表示事件 $A$ 发生的概率，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A_{1}) = 40 %$ B、 $P (B A_{2}) = 27 %$ C、 $P (B) = 81 %$ D、 $P (A_{2} ∣ B) = \frac{1}{3}$

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18、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到的图象关于原点对称 D、 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是椭圆C上的动点， $m = |P F_{1}|$ ， $n = |P F_{2}|$ ，则 $\frac{4 m + n}{m n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{20 - 3 \sqrt{7}}{9}$ D、 $\frac{20 + 3 \sqrt{7}}{9}$

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20、某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布 $N (75, σ^{2})$ .若 $P (60 \leq X \leq 90) = \frac{3}{5}$ ，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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品牌	甲	乙	其他
市场占有率	$50 %$	$30 %$	$20 %$
优质率	$80 %$	$90 %$	$70 %$