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相关试卷

1、在 ${(3 - x)}^{n}$ 的展开式中，若 $x^{2}$ 的系数为 $a_{n} (n \geq 2)$ ，则 $\frac{3^{2}}{a_{2}} + \frac{3^{3}}{a_{3}} + \dots + \frac{3^{n}}{a_{n}} =$ ．

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2、已知复数 $z$ 不为0，其共轭复数为 $\bar{z}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、复平面内， $z$ 与 $\bar{z}$ 所对应的点关于实轴对称 C、 $z + \bar{z}, z - \bar{z}$ 与 $z \cdot \bar{z}$ 都是实数 D、若 $\frac{1}{z} = \bar{z}$ ，则 $z$ 在复平面内所对应的点的轨迹为圆

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3、已知过点 $(a, b)$ 可以作函数 $f (x) = x^{3} - x$ 的三条切线，如果 $a > 0$ ，则 $a$ 和 $b$ 应该满足的关系是（）

A、 $0 < b < a^{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{9} < b < a^{3} - a$ C、 $- a < b < a^{3}$ D、 $- a < b < a^{3} - a$

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $x = m y + 1$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，与其准线交于点 $D$ ，若 $\vec{A F} = \vec{F D}$ ，则 $|B F| =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、4

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5、已知 $2 x^{2} + k x - m < 0$ 的解集为 $(t, - 1) (t < - 1)$ ，则 $k + m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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6、已知 $f (x) = \frac{3^{x} + a}{3^{x} + 1}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的方程 $2 f (x) + \frac{2}{f (x) + 1} = 3$ ；

(3)、若存在区间 $[m, n]$ （ $m < n$ ），使得函数 $y = f (x) + t$ 在 $[m, n]$ 上的值域为 $[3^{m}, 3^{n}]$ ，求 $t$ 的取值范围．

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7、双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为 $f (x)$ ，双曲余弦函数为 $g (x)$ ，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为 $R$ ；② $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；③ $f (x) + g (x) = e^{x}$ （常数e是自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）.利用上述性质，解决以下问题：

(1)、求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)、解不等式 $f (f (x)) > \frac{1 - e^{2}}{2 e}$ .

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8、已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 是幂函数，定义域为R ．

(1)、求m的值．

(2)、若 $g (x) = 2 f (x) + \frac{2}{f (x) + 1}$ ，求 $g (x)$ 的值域．

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9、已知函数 $y = g (x)$ 的对应关系如下表所示，函数 $y = f (x)$ 的图象是如下图所示，

$x$
1
2
3
$g (x)$
4
3
-1
则 $g (f (2))$ 的值为.

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10、已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2, 4)$ ，则（）．

A、函数 $f (x)$ 为增函数 B、 $\forall x_{1} \neq x_{2}, \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ C、函数 $f (x)$ 为偶函数 D、当 $x \geq 4$ 时， $f (x) \geq 64$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \leq a \\ 2^{x}, x > a \end{array} ，$ 若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1]$

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 3, 3]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x + 2)}{x + 2}$ 的定义域为（）

A、 $[- 3, - 2) \cup (- 2, 3]$ B、 $[- 5, - 2) \cup (- 2, 1]$ C、 $[- 4, - 2) \cup (- 2, 2]$ D、 $[- 3, - 2) \cup (- 2, 1]$

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13、某幢大楼前由两条小路 $O A$ 、 $O B$ 围成的一个角状区域，在区域内修建一个正三角形花园 $A B M$ （如图），已知 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ，设 $∠ O B A = θ (θ \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}])$ .

(1)、用 $θ$ 表示 $O A + O B$ ，并求 $O A + O B$ 的最大值；

(2)、问 $θ$ 为何值时，花园出口 $M$ 与 $O$ 之间的距离最近？

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14、已知： $\overset{⇀}{a} 、 \overset{⇀}{b} 、 \overset{⇀}{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\overset{⇀}{a} = (1, 2)$

(1)、若 $|\overset{⇀}{c}| = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\overset{⇀}{c} / / \overset{⇀}{a}$ ，求 $\overset{⇀}{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\overset{⇀}{b}| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}$ 与 $2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 垂直，求 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ .

(3)、若 $\overset{⇀}{b} = (1, 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{a} + λ \overset{⇀}{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围.

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15、设函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x - {cos}^{2} x - \frac{1}{2}$ ；

(1)、写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的最值及对应的 $x$ 的值；

(3)、若不等式 $| f (x) - m | < 1$ 在 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、（1）化简 $\frac{sin θ + sin 2 θ}{1 + cos θ + cos 2 θ}$ ；
（2）已知 $tan α = 2$ ， $sin α + cos α < 0$ ，求 $\frac{tan(π - α) \cdot sin(- α + \frac{3 π}{2})}{cos(π + α) \cdot sin(- π - α)}$ 的值.

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17、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD= $\sqrt{2}$ ， E为BC中点，若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 3$ ，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ .

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18、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，则AC的长为.

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19、已知 $|\vec{O M}| = 2, |\vec{O N}| = 2, \vec{O M}$ 与 $\vec{O N}$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $|\vec{O P}| = 2$ 且 $\vec{O P} = x \vec{O M} + y \vec{O N} (x \geq 0$ ， $y \geq 0)$ ，则 $x + y$ 的可能值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、1

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20、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 C、 $x = - \frac{11 π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ ，则 $|x_{2} - x_{1}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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$x$	1	2	3
$g (x)$	4	3	-1