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相关试卷

1、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $P$ 为 $B C$ 的中点，点 $Q$ ， $R$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 上，且 $A Q = λ A A_{1}$ ， $B_{1} R = λ B_{1} B (0 < λ < 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、存在 $λ$ ，使得 $C A_{1} / /$ 平面 $P Q R$ B、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为 $\frac{17 π}{2}$ C、对于任意的 $λ \in (0, 1)$ ，四棱锥 $P - A B R Q$ 的体积为定值 D、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，平面 $P Q R$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值为 $\frac{5 \sqrt{29}}{29}$

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2、已知以 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为左右焦点的椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点，且点 $P$ 到 $F_{2}$ 的最大距离是点 $P$ 到 $F_{2}$ 的最小距离的3倍，连接 $P F_{2}$ ，并延长 $P F_{2}$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $Q$ ，则下列结论正确的是（）

A、椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、三角形 $P Q F_{1}$ 的周长为 $8$ D、 $\frac{1}{|P F_{2}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|} = \frac{4}{3}$

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3、已知直线 $l_{1}$ 过点 $A (0, 1)$ ，直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2} : y = x$ 的交点 $B$ 在第一象限，点 $O$ 为坐标原点.若三角形 $O A B$ 为钝角三角形时，则直线 $l_{1}$ 的斜率的范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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4、已知直线 $m x - y - 2 m - 1 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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5、在棱长为 $2 a$ 的正四面体（四个面都是正三角形） $A B C D$ 中，点 $M$ 为 $C D$ 的中点，则直线 $A C$ 与直线 $B M$ 所成角的余弦值为（）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、与 $a$ 的值有关

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6、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，若 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{A A_{1}} = \overset{⃑}{c}$ ，则下列式子中与 $\overset{⃑}{D_{1} M}$ 相等的是（　　）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$

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7、已知两条直线 $l_{1} : (m + 1) x + y - 1 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + m y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ 或1 B、 $- 2$ C、1 D、 $- \frac{2}{3}$

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8、若直线 $l : y = tan \frac{π}{4}$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $α =$ （）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、不存在

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9、已知集合 $A = \{x | - 3 \leq x \leq 1\}, B = \{x | | x | \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 3 \leq x \leq 2}$ B、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 1\}$ D、 $\{x ∣ 1 \leq x \leq 2\}$

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10、设梯形 $A B C D$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，已知 $A B // C D$ ，且 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2 \sqrt{3})$ ， $D (3, \sqrt{3})$ .

(1)、求 $⊙ M$ 的标准方程；

(2)、求梯形 $A B C D$ 的面积.

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，点 $P$ 关于原点 $O$ 对称的点为 $Q$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 2$ C、点 $P$ 的纵坐标 $y_{0}$ 满足 $|y_{0}| = \frac{1}{3}$ D、 $|P Q| = \frac{2 \sqrt{33}}{3}$

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12、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $C D$ 的中点，记 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{B A} = \vec{b}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{c}$ ，满足 $∠ B_{1} B C = ∠ B_{1} B A = \frac{π}{3}$ ， $∠ C B A = \frac{π}{2}$ ， $|A B| = |B C| = 2$ ， $|B B_{1}| = 3$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{F E}$ ，并求 $E F$ 的长度；

(2)、求直线 $A C$ 与 $E F$ 所成角的余弦值.

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13、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (p, y_{0})$ 在抛物线 $C$ 上，且 $|F M| = 3$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若经过点 $N (5, - 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ，且 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ，求 $|A B|$ ．

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14、已知函数 $f (x) = ln (\sqrt{4 x^{2} + 4} + 2 x) + x^{2025}$ ，则不等式 $f (2 x^{2} - 3 x - 7) + f (2 x - 3) < ln 4$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$ C、 $(- \frac{5}{2}, 2)$ D、 $(- 2, \frac{5}{2})$

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、3

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16、西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在 $25 ° C$ 室温下，龙井用 $85 ° C$ 的水泡制，再等到茶水温度降至 $60 ° C$ 时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从 $85 ° C$ 开始，经过 $x$ 分钟后的温度为 $y ° C$ 且满足 $y = k a^{x} + 25 (k \in R, 0 < a < 1, x \geq 0)$ .

(1)、求常数 $k$ 的值；

(2)、经过测试可知 $a = 0.9227$ ，求在 $25 ° C$ 室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ $($ 结果精确到 $1$ 分钟 $)$ (参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010, \lg 3 \approx 0.4771$ ， $\lg 7 \approx 0.8451, \lg 0.9227 \approx - 0.0349$ )

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17、已知 $cos (α - \frac{5 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $sin (\frac{π}{4} + α) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{3}$

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18、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ．

(1)、若 $a = 1, c = 2$ ，且 $f (x)$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上有两个互不相同的实数根，求 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 2, - 1)$ ， $g (x) = x + 4$ ，对于 $\forall x_{1} \in [1, 4]$ ， $\exists x_{2} \in [- 4, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) - x_{1} - 2 a \geq g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) \geq 2 a x + b$ 恒成立，求 $\frac{b^{2}}{3 a^{2} + c^{2}}$ 的最大值．

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19、已知定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a}{x + b}$ 满足 $f (1) = 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式，并写出 $f (x)$ 的单调区间（不需证明）；

(2)、解不等式 $|f (x^{2} - 1)| < \frac{5}{2}$ ；

(3)、设 $x_{1}, x_{2}$ 为方程 $f (x - 1) = 2 x - m - 2$ 的两个非零实根，若 $\exists m \in (- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，使不等式 $t \leq |\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}}|$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - 12, (a, b \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围；

(2)、当 $b = 3 a - 4$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集．

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