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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x - b \ln x$ ， $g (x) = \frac{a}{x} (a, b \in R)$ .

(1)、若 $b = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、令 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若 $x = 1$ 是 $h (x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，若 $h (x) + \frac{2 a}{e} \geq 0$ 对 $x \in (1, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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2、如图，已知四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2 B C = 2$ ， $△ P C D$ 是正三角形，O是 $C D$ 的中点，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P C D$ .

(1)、证明： $B O ⊥ P A$ ；

(2)、求点D到平面 $P A B$ 的距离；

(3)、已知点Q为线段 $C P$ 靠近C的三等分点，直线 $A Q$ 与平面 $P A B$ 所成角为 $α$ ，求 $\sin α$ .

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3、目前，江苏省城市足球联赛简称“苏超”战火正燃.某大型企业工会为了丰富员工的业余体育文化生活，传播足球运动文化，组建了足球社团.企业为了解员工喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女员工各50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男
m
20

女
15
n

合计

100

(1)、求m，n的值，试运用独立性检验的思想方法判断，能否有99.5%的把握，认为该企业员工喜欢足球与性别有关?

(2)、2025年7月5日，“苏超”联赛将在南京奥体中心体育场迎来常规赛第6轮比赛.该企业足球社团计划赛事当天组织部分“球迷”现场观赛，先从这100名参与调查且喜欢足球的员工中按性别用分层抽样的方法抽取6人，然后再从这6人中随机抽取3人担任现场观赛“球迷”，记抽出的3人中女性的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq α)$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$α$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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4、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x - 6 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x |m \leq x \leq m + 2\}$ .

(1)、若 $m = 5$ ，求 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f (x) + f^{'} (x) = 2 e^{x}$ ，若 $f (x) - e^{- x} \geq k x$ 在 $R$ 上恒成立，则正实数 $k$ 的取值范围是.

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6、若正实数x、y满足 $x + y = 6$ ，则 $\frac{1}{x + 2} + \frac{4}{y + 1}$ 的最小值是.

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7、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $F$ 满足 $\vec{D F} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}}$ ， $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $λ = 1$ ，则 $A F ⊥ B D$ B、若 $λ + μ = 1$ ，则四面体 $A_{1} - B E F$ 的体积是定值 C、若 $λ = 1$ ， $μ = \frac{1}{2}$ ，则存在点 $P \in A_{1} B$ ，使得 $A P + P F$ 的最小值为 $9 + 2 \sqrt{10}$ D、若 $B_{1} F ⊥ E F$ ，则点F的轨迹长为 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$

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8、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- x - 1) = - f (x + 1)$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称 C、函数 $f (x)$ 的周期为2 D、 $f (2025) = 0$

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9、有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为 $6 %, 5 %, 4 %$ ，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为 $2 : 3 : 5$ ，现任取一个零件，记事件 $A_{i} =$ “零件为第i台车床加工” $(i = 1, 2, 3)$ ，事件 $B =$ “零件为次品”，则（）

A、 $P (A_{1}) = 0.2$ B、 $P (B |A_{2}) = \frac{1}{6}$ C、 $P (B) = 0.047$ D、 $P (A_{1} |B) = \frac{6}{47}$

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10、任意作一条直线 $x = t$ 分别与定义域均为 $[m, n]$ 的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $h (x)$ 的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段 $A C$ 的中点，则称 $f (x)$ ， $h (x)$ 是关于 $g (x)$ 的“对称函数”.已知定义域为 $[0, 1]$ 的函数 $f (x) = \sqrt{1 - x}$ ， $h (x) = \sqrt{x}$ ，且 $f (x)$ ， $h (x)$ 是关于 $g (x)$ 的“对称函数”.若 $\forall x_{1} \in [0, 1]$ ， $\exists x_{2} \in [0, 1]$ ， $g (x_{1}) = x_{2}^{2} + 2 x_{2} + r$ 成立，则 $r$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2} - 3}{2}, \frac{3}{2}]$ B、 $[0, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2} + 3}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2} - 6}{2}, \frac{1}{2}]$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} a {(x - a)}^{2} + 1, x < a, \\ |x - 2 a| - 1, x \geq a . \end{cases}$ 的值域为 $R$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $[- 2, 0)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[- 2, 2]$

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12、有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（）

A、12种 B、8种 C、6种 D、4种

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13、若“ $\forall x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ， $x^{2} - λ x + 2 \geq 0$ ”是真命题，则实数 $λ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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14、在三棱锥 $O - A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $\vec{B N} = \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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15、某能源汽车制造公司近5年的利润情况如下表所示：
第x年
1
2
3
4
5
利润y（亿元）
2
3
4
m
7
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为： $\hat{y} = 1.2 x + 0.6$ ，则m的值为（）

A、4.5 B、4.8 C、5 D、5.4

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16、已知集合 $A = \{x \in N |y = \sqrt{2 - x}\}$ ，则集合A的真子集的个数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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17、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, 4)$ ，若 $P (ξ > c + 1) = P (ξ < c - 1)$ ，则c的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、如图，已知抛物线 $x^{2} = y$ .点A $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}) ， B (\frac{3}{2} ， \frac{9}{4})$ ，抛物线上的点P（x，y） $(- \frac{1}{2} ＜ x ＜ \frac{3}{2})$ ，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

（I）求直线AP斜率的取值范围；
（II）求 $|P A| \cdot |P Q|$ 的最大值

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19、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是以AD为斜边的等腰直角三角形， $B C / / A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $P C = A D = 2 D C = 2 C B = 2$ ， E为PD的中点.

(1)、证明： $C E / /$ 平面PAB；

(2)、求直线CE与平面PAB间的距离.

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20、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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$P (χ^{2} \geq α)$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$α$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男	m	20
女	15	n
合计			100

第x年	1	2	3	4	5
利润y（亿元）	2	3	4	m	7