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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形，且 $△ A B D$ 是等边三角形， $A B = 2$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $△ P A B$ 是等腰三角形，求异面直线 $P B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值.

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2、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、已知点 $A (0, - 2)$ ，过点 $P (0, - 3)$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线 $y = - 3$ 交于点M、N，当 $∣ P M ∣ + ∣ P N ∣ \leq 15$ 时，求斜率k的取值范围．

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3、如图，由9个单位小方格组成的 $3 \times 3$ 方格表中共有16个格点，将每个格点染成灰色或黑色，满足：若任意4个格点构成矩形的4个顶点，则这4点中至多有2点被染成灰色.则被染为灰色的格点数目最多为.

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4、若圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 25$ 被直线 $3 x - 4 y - 7 = 0$ 所截得的弦长为10，过点 $P (- 7, 5)$ 作圆 $M$ 的切线，其中一个切点为 $A$ ，则 $| P A |$ 的值为.

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5、已知函数 $f (x) = |x - a| + |x - a^{2}|$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $f (0) = 2$ ，则 $a = \pm 1$ B、若 $f (x)$ 为偶函数，则 $f (x) \geq 2$ C、有且仅有 $2$ 个 $a$ 使得 $f (x)$ 的最小值为 $0$ D、若函数 $f (x)$ 的图象与 $y = \sqrt{x}$ 的图象有且仅有两个交点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{\sqrt{2} - 2}{4}, 2)$

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6、定义在 $[0, 1]$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 0, f (x) + f (1 - x) = 1, f (\frac{x}{5}) = \frac{1}{2} f (x)$ ，且当 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$ 时， $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则 $f (\frac{1}{2023}) =$ （）

A、 $\frac{1}{256}$ B、 $\frac{1}{128}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{32}$

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7、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - |x + 3 a - 6|, x ⩽ 0 \\ a^{x}, x > 0 \end{array}$ ，满足对任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(2$ ， $3]$ C、 $(2, \frac{7}{3})$ D、 $(1$ ， $2]$

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8、已知集合 $A = {x ∣ x > 1}, B = \{x |\frac{x}{2 - x} \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 2)$ B、 $(1, 2]$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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9、双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{5} x$ C、 $x = \pm 2 y$ D、 $y = \pm 4 x$

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10、函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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11、已知复数 $\frac{z}{i^{3}} = - 3 - 4 i$ ，则|z|＝（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、已知 $z = - 1 + i$ ，则 $\frac{1}{z + 1} =$ （）

A、 $- i$ B、i C、-1 D、1

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, {sin}^{2} B + {sin}^{2} C - {sin}^{2} A = sin B sin C$ .

(1)、若 $b = 1, c = 2, D$ 为线段 $B C$ 中点，求线段 $A D$ 的长；

(2)、奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年～1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式： ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ ；②已知三维分式型柯西不等式： $y_{1}, y_{2}, y_{3} \in R^{+}, \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \geq \frac{{(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2}}{y_{1} + y_{2} + y_{3}}$ ，当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时等号成立.若 $a = 3, P$ 是 $△ A B C$ 内一点，过 $P$ 作 $A B, B C, A C$ 垂线，垂足分别为 $D, E, F$ ，求 $T = \frac{c}{|P D|} + \frac{9 a}{|P E|} + \frac{b}{|P F|}$ 的最小值.

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14、如图（1），正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, E, F$ 分别为 $B C, C D$ 的中点， $A E, A F$ 与对角线 $B D$ 的交点分别为 $M, N$ ，对角线 $A C$ 交 $E F$ 于 $G$ ，沿图中虚线折起，使 $B, C, D$ 三点重合于点 $P$ ，得到图（2）所示的多面体.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P M N$ ；

(2)、求证：平面 $A P G ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(3)、求四棱锥 $P - E F N M$ 的体积.

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15、高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差；

(2)、已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩；

(3)、为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率.

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16、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点， $A C ⊥ A D, A D = 2 \sqrt{3}, A B = 2 B D$ ，且 $△ A C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $sin ∠ A B D$ 的值为.

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17、已知 $sin x + cos x = \frac{7}{5}$ ，则 $sin 2 x$ 的值为.

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18、如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面 $C_{1} B_{1} B C$ 内（不含边界）一点 $P$ 与棱 $D D_{1}$ 把木料锯成两块，为此需要先在面 $C_{1} B_{1} B C$ 内作出交线 $l$ ，下列关于交线 $l$ 与截面形状的说法正确的是（）

A、截面形状是梯形 B、截面形状可能为等腰梯形 C、直线 $l$ 与直线 $D D_{1}$ 相交 D、直线 $l$ 与直线 $A A_{1}$ 相交

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19、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $C = 60 °$ ， $b = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $c = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 只有一解 C、若 $B = 75 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{27 - 9 \sqrt{3}}{4}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $a \in (\frac{3}{2}, 6)$

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20、如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（）

A、环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B、环比涨跌幅的平均数为 $0.1 \frac{0}{0}$ C、环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D、同比涨跌幅的75百分位数为 $1.55 \frac{0}{0}$

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