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相关试卷

1、已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、已知函数 $f (x) = 2 a \ln x - x^{2} + a$ ， $a \in R$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在这两个零点处的切线交于点 $(x_{0}, y_{0})$ ，求证： $x_{0}$ 小于 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的等差中项；

(3)、证明： $2 \ln (n + 1) > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ .

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3、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、已知 ${(2 x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.

(1)、求展开式中所有二项式系数的和；

(2)、求展开式中的常数项.

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5、若函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + 3 m x + 1$ 是 $R$ 上的单调函数，则实数 $m$ 的取值范围是．

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6、对任意实数 $x$ ，有 ${(2 x - 3)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \dots \dots + a_{9} {(x - 1)}^{9}$ .则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} = - 144$ B、 $a_{0} = 1$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{9} = 1$ D、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \dots - a_{9} = - 3^{9}$

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7、下列求导过程正确的是（）

A、 ${(\frac{2}{x})}^{'} = - \frac{2}{x^{2}}$ B、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ C、 ${(\frac{\ln x}{\ln a})}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$ D、 ${[\cos (\frac{3}{2} π - 3 x)]}^{'} = - 3 \sin (\frac{3}{2} π - 3 x)$

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8、定义在区间 $[- \frac{1}{2}, 4]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 4)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极小值

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9、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，且 $f (x) > f^{'} (x)$ ，则当 $a > b$ 时，下列不等式成立的是（）

A、 $e^{a} f (a) > e^{b} f (b)$ B、 $e^{b} f (a) > e^{a} f (b)$ C、 $e^{b} f (b) > e^{a} f (a)$ D、 $e^{a} f (b) > e^{b} f (a)$

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10、学校乒乓团体比赛采用 $5$ 场 $3$ 胜制（ $5$ 场单打），每支球队派 $3$ 名运动员参赛，前 $3$ 场比赛每名运动员各出场 $1$ 次，其中第 $1$ 、 $2$ 位出场的运动员在后 $2$ 场比赛中还将各出场 $1$ 次，假设某球队派甲、乙、丙 $3$ 名运动员参加比赛，则所有可能的出场情况的种数为（）

A、 $12$ B、 $18$ C、 $30$ D、 $36$

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x$ ， $x \in R$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $5 x - y + 2 = 0$ B、 $5 x - y - 2 = 0$ C、 $x - 5 y + 2 = 0$ D、 $x - 5 y - 2 = 0$

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12、若有5名实习学生到甲、乙、丙、丁4个公司学习，每人限报一个公司，则不同的报名方式有（）

A、625 B、1024 C、120 D、24

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13、若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 - Δ x) - f (1)}{Δ x} = 2$ ，则可导函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的导数为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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14、 ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{3}$ 的展开式中常数项是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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15、已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x - 1}}$ ， $g (x) = \frac{1 + ln x}{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $0 < x < 1$ 时，证明： $f (x) > g (x)$ ；

(3)、当 $F (x) = (b e^{x - 1} - x) (1 + ln x - b x)$ 恰有四个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ 时，证明： $x_{1} x_{4} = x_{2} x_{3}$ ．

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，且过点 $(0, 1)$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $C$ 的右焦点 $F$ 的直线交 $⊙ O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．
①证明：四边形 $A M B N$ 的面积为定值，并求出该定值；
②若直线 $A B$ 的斜率存在且不为0，设线段 $A B$ 的中点为 $E$ ，记 $△ A E N$ ， $△ B E M$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ．当 $S_{1} < S_{2}$ 时，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值．

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} a_{3} = 45$ ， $S_{3} = 15$ ．数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $2 b_{n} - b_{n + 1} - 15 = 0$ ， $b_{1} = 16$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明：数列 $\{b_{n} - 15\}$ 是等比数列；

(3)、求数列 $\{\frac{a_{n + 2}}{a_{n} a_{n + 1} (b_{n + 1} - 15)}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A C C_{1} = 60 °$ ， $A_{1} C ⊥ B C_{1}$ ， $P$ 为线段 $A A_{1}$ 上一点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A A_{1}}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使得点 $C$ 到平面 $B P C_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19、已知向量 $\vec{a} = (sin x, \sqrt{3} cos x)$ ， $\vec{b} = (sin x, sin x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $t^{2} - \frac{5}{2} t \leq f (x)$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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20、已知正六棱锥的高为 $\sqrt{3}$ ，它的外接球的表面积是 $\frac{16}{3} π$ ．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为．

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