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相关试卷

1、过直线 $x + y + 2 = 0$ 与 $x - y - 4 = 0$ 的交点且与直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 垂直的直线方程为（）

A、 $x + 2 y + 5 = 0$ B、 $x + 2 y - 5 = 0$ C、 $2 x - y + 5 = 0$ D、 $2 x - y - 5 = 0$

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2、已知角 $a$ 终边上一点 $P (3, - 4)$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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3、若 $m$ 是2和8的等比中项，则实数 $m$ 的值是（）

A、5 B、 $- 5$ 或5 C、4 D、 $- 4$ 或4

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4、函数 $f (x) = \sqrt{|x - 1| - 3}$ 的定义域是（）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2]$ C、 $[- 2, 4]$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [4, + \infty)$

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5、已知复数 $(2 x + y) - (x - y) i$ 的实部和虚部分别为5和 $- 1$ ，则实数 $x$ 和 $y$ 的值分别是（）

A、2， $- 1$ B、2，1 C、 $- 1$ ， 2 D、1， $- 2$

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6、已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（）

A、4 B、 $4 π$ C、12 D、 $12 π$

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7、阅读下列材料，回答问题：
如图，在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过原点 $O$ 与 $z$ 轴成 $θ$ 角 $(0 < θ < \frac{π}{2})$ 的直线绕 $z$ 轴一周，生成以 $O$ 为顶点 $z$ 轴为对称轴的两个圆锥形的几何体 $Ω$ ，不经过原点 $O$ 与 $z$ 轴成 $φ$ 角 $(0 \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的平面 $α$ 截几何体 $Ω$ 的表面得到的截口曲线称为圆锥曲线.

当 $θ < φ < \frac{π}{2}$ 时，平面 $α$ 截几何体 $Ω$ 的表面得到的截口曲线在一个圆锥上，以下证明它是椭圆：如图，在该圆锥内放置两球 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，使它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆 $K_{1}$ 和圆 $K_{2}$ ）且与平面 $α$ 相切（位于平面 $α$ 上下两侧），切点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{1}$ ，在截口曲线上任取一点P，作直线 $O P$ 交圆 $K_{1} ､ K_{2}$ 于点 $Q_{1} ､ Q_{2}$ ，连接 $P F_{1}$ 和 $P Q_{1}$ ，因为 $P F_{1}$ 和 $P Q_{1}$ 都是大球的切线段，所以 $P F_{1} = P Q_{1}$ ，同理 $P F_{2} = P Q_{2}$ ，所以 $P F_{1} + P F_{2} = P Q_{1} + P Q_{2} = Q_{1} Q_{2}$ ，因为两球外离， $F_{1} F_{2}$ 和 $Q_{1} Q_{2}$ 分别是两球的内外公切线段，都为定值且 $F_{1} F_{2} < Q_{1} Q_{2}$ ，所以此时平面 $α$ 截圆锥得到的圆锥曲线满足椭圆定义，应为椭圆.依据上述材料所述，请回答：


(1)、当 $φ = θ$ 时，对应的圆锥曲线是什么曲线？（直接回答不必证明）

(2)、当 $0 < φ < θ$ ，对应的圆锥曲线是什么曲线？并根据所给图形利用材料所提供的思路进行证明；


(3)、如图，将等边 $△ A B C$ 绕边 $B C$ 旋转至 $△ A^{'} B C$ ，并且使二面角 $A - B C - A^{'}$ 为直二面角，动点 $P$ 在平面 $A^{'} B C$ 上并且 $∠ P A A^{'} = \frac{π}{3}$ ，判断动点 $P$ 的轨迹，并求其离心率.


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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过点 $A (1, \frac{3}{2})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过点 $B (0, 2)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $M, N$ 两点，若直线 $A M, A N$ 的斜率都存在且分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，

(1)、求椭圆 $C$ 的方程

(2)、求 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 的值

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9、如图， $A B C D$ 为圆柱的轴截面， $P$ 为底面半圆周上一点， $E$ 为 $P C$ 中点， $B E ⊥ A C$

(1)、若 $B C = 1$ ，求 $P B$ 的长

(2)、若 $P A = 2 P B$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $A B E$ 所成夹角的余弦值

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10、已知圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ ．

(1)、若直线l过点 $(- 2, 0)$ 且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)、从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且 $| P M | = | P O |$ ，求 $| P M |$ 的最小值．

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11、如图，已知 $a, b$ 是相互垂直的两条异面直线，直线 $A B$ 与 $a, b$ 相交且垂直，垂足为 $A, B$ ，且线段 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，动点 $P, Q$ 分别位于直线 $a, b$ 上，若直线 $P Q$ 与 $A B$ 所成的角 $θ = \frac{π}{6}$ ，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，则以下结论：
① $P Q$ 的长度为定值4.
②三棱锥 $A - B P Q$ 的体积为定值.
③点 $M$ 的轨迹是圆；
其中正确的有（填写编号）

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12、在平面直角坐标系中，已知某直线沿 $x$ 轴正方向平移3个单位，再沿 $y$ 轴负方向平移2个单位直线回到原来位置，则此直线的斜率 $k =$ .

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13、已知四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，对角线 $A C, B D$ 过原点 $O$ ，且 $k_{A C} \cdot k_{B D} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ ，则（）

A、 $| O A |^{2} + | O B |^{2}$ 是定值 B、 $|A C| \cdot |B D|$ 是定值 C、四边形 $A B C D$ 的面积是定值 D、四边形 $A B C D$ 的周长是定值

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14、在空间直角坐标系中，已知点 $A (- 1, - 1, 0), B (0, 2, - 1), C (2, 0, 1)$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则（）

A、 $G$ 点的坐标是 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0)$ B、 $\vec{n} = (- a, a, 2 a)$ 是平面 $A B C$ 的法向量 C、平面 $A B C$ 过原点 $O (0, 0, 0)$ D、 $△ A B C$ 为锐角三角形

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15、已知抛物线 $y = x^{2}$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，弦 $P Q$ 过 $F$ 点，则下列说法正确的是（）

A、焦点 $F$ 的坐标为 $(0, \frac{1}{2})$ B、准线 $l$ 的方程为 $x = - \frac{1}{4}$ C、若 $P (x_{0}, y_{0})$ ，则 $|F P| = y_{0} + \frac{1}{4}$ D、弦 $P Q$ 的长度 $|P Q| \geq 1$

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16、已知动直线 $l : (m + 1) x + (m - 1) y + 2 m = 0$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ ，则直线 $l$ 与圆 $O$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、与 $m$ 值有关，无法确定

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17、已知直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是 $- 2$ ，在 $y$ 轴上的截距是3，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $3 x - 2 y - 6 = 0$ B、 $3 x + 2 y - 6 = 0$ C、 $3 x - 2 y + 6 = 0$ D、 $3 x + 2 y + 6 = 0$

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18、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{2} x^{2} - x + 2 (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 0$ ；求证： $f (x) < \frac{4 e^{x - 2}}{x^{2}}$ ；

(3)、设 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，求证： $f (x_{1}) - f (x_{2}) < (a - \frac{1}{2}) (x_{1} - x_{2})$ .

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19、为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度 $y$ （单位：毫克/立方米）随着时间 $x$ (单位：小时)变化的函数关系式近似为 $y = {\begin{matrix} \frac{16}{9 - 2^{x}} - 1, & 0 \leq x \leq 3 \\ 16 - 2^{x - 3}, & 3 < x \leq 7 \end{matrix}$ ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ， $\lg 15 \approx 1.17$ ）
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒 $t$ 小时后空气中净化剂浓度为 $g (t)$ (毫克/立方米)，其中 $0 < t \leq 3$ ．
①求 $g (t)$ 的表达式；
②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．

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20、已知角 $α$ （ $0 < α < π$ ）的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆 $O$ 交于点 $P (- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ ．

(1)、若角 $β$ 是由角 $α$ 的终边顺时针旋转 $\frac{π}{2}$ 得到的，求 $\cos (α + β)$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $\tan β = 2$ ，求 $\cos 2 β$ 的值．

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