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相关试卷

1、已知 $m$ 为实数，直线 $l_{1} : (m + 2) x + y - 2 = 0, l_{2} : 5 x + (m - 2) y + 1 = 0$ ，则“ $l_{1} / / l_{2}$ ”是“ $m = - 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数 $n$ ，记 $f (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的个数， $g (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的和．

(1)、若数列 $a_{n} = f (3^{n})$ ， $b_{n} = g (3^{n})$ ， $c_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，
①写出 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ；
②求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、对于互不相等的素数 $p$ 、 $q$ 、 $r$ ，证明： $f (p^{3} q^{2} r) = f (p^{3}) f (q^{2}) f (r)$ ， $g (p^{3} q^{2} r) = g (p^{3}) g (q^{2}) g (r)$ ，并求 $\frac{g (2200)}{f (2200)}$ 的值．

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3、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 1 + 2 ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，若存 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 在，满足 $f (x_{1}) = - f (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} \geq 2$ ；

(3)、对任意的 $x > 0$ ， $f^{'} (x) \leq x e^{2 x} + \frac{2}{x} - ln x - 1$ 恒成立，其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，求 $a$ 的取值范围．

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4、某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的 $\frac{3}{7}$ ；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占 $\frac{1}{5}$ ．

(1)、请根据以上数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？
满意
不满意
合计
上班族
非上班族
合计

(2)、该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数 $X$ 的分布列和数学期望．
附：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{b c}{3 sin B}$ ， $tan A tan B = 4$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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6、若直线 $y = k x$ 与曲线 $y = ln x + \frac{1}{2 x}$ 相切，则 $k =$ ．

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7、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (1, 2)$ ， $B (3, 1)$ ， $C (5, m)$ ，且 $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，则 $m =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，则下列命题中正确的是（）

A、1是 $f (x)$ 的极大值 B、当 $- 1 < a < 0$ 时， $f (a - 1) < f (a)$ C、当 $a > 2$ 时， $f (x)$ 有且仅有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ D、若 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{1}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = 0$

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9、已知 $a$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + 2 b + 6$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值为18 B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为36 C、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$ D、 $a + b$ 的最小值为 $3 + 4 \sqrt{2}$

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10、已知直线 $a$ ， $b$ 与平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，能使 $α ⊥ β$ 的充分条件是（）

A、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ B、 $α / / γ$ ， $β ⊥ γ$ C、 $α \cap β = b$ ， $a ⊥ b$ ， $a \subset α$ D、 $a / / b$ ， $b ⊥ β$ ， $a \subset α$

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11、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数， $f (1 - x) + f (1 + x) = 0$ ， $f (2) = 0$ ，当 $x > 1$ 时， $(x - 1) f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则使得 $f (x) < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1) \cup (1, 2)$ B、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (1, 2)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

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12、已知圆台的高为1，下底面的面积 $16 π$ ，体积为 $\frac{37}{3} π$ ，则该圆台的外接球表面积为（）

A、 $64 π$ B、 $81 π$ C、 $100 π$ D、 $121 π$

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13、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{4} = 0, a_{5} = - 5$ ，则（）

A、 $a_{n} = - 2 n + 5$ B、 $a_{n} = 3 n - 10$ C、 $S_{n} = - 2 n^{2} + 8 n$ D、 $S_{n} = - \frac{1}{2} n^{2} + 2 n$

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14、已知 $f (x) = \{\begin{cases} {log}_{a} x - 2 x, x > 0 \\ {log}_{2} (- x) + b x, x < 0 \end{cases}$ 是奇函数，则 $a + b =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、0 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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15、抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、若 $sin 20^{\circ} = m$ ，则 $tan 160^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{m}{\sqrt{1 - m^{2}}}$ B、 $- \frac{m}{\sqrt{1 - m^{2}}}$ C、 $\frac{\sqrt{1 - m^{2}}}{m}$ D、 $- \frac{\sqrt{1 - m^{2}}}{m}$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, C$ 的右顶点 $A (\sqrt{3}, 0)$ 满足 $\bar{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = - 1$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与 $C$ 恰有1个公共点，且与 $C$ 的两条渐近线分别交于点 $M, N$ ，设 $O$ 为坐标原点：
①证明： $M$ 与 $N$ 的横坐标的积为定值；
②求 $△ O M N$ 周长的最小值.

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18、设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}$ ，乙车通过I､II环节的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}$ ，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为 $\frac{16}{19}, \frac{10}{11}$ .

(1)、求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率；

(2)、设甲，乙两款车型可投入量产的种数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与均值.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}, P B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P B = A B = B C = 6, A D = 3$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $E C ⊥ P D$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离；

(3)、求平面 $P A C$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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20、已知直线 $l$ 经过点 $P (1, - 1)$ ，圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ .

(1)、若 $l$ 经过圆 $C$ 的圆心，求 $l$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 相切，求 $l$ 的方程.

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	满意	不满意	合计
上班族
非上班族
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828