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相关试卷

1、数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 |y|$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）

A、曲线 $C$ 围成的图形的周长是 $4 \sqrt{2} π$ B、曲线 $C$ 围成的图形有 $6$ 条对称轴 C、若 $T (a, b)$ 是曲线 $C$ 上任意一点， $|4 a + 3 b - 18|$ 的最小值是 $11 - 5 \sqrt{2}$ D、曲线 $C$ 上的任意两点间的距离不超过 $6$

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2、下列给出的命题正确的是（）

A、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则 $l // α$ B、两个不重合的平面 $α, β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1), \vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 也是空间的一组基底 D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点P为平面ABC上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} - n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m - n = \frac{1}{2}$

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3、已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上， $A B C D$ 为正方形，若直线PQ经过球心，且 $P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ .则异面直线 $P A, Q B$ 所成的角的最小值为（）

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $30 °$ D、 $15 °$

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4、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = B C = 4$ ， $P B = A C = 5$ ， $P C = A B = \sqrt{11}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $26 π$ B、 $12 π$ C、 $8 π$ D、 $24 π$

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5、如图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为a，以下结论中，错误的是（）

A、异面直线 $A_{1} D$ 与 $A B_{1}$ 所成的角为 $60 °$ B、直线 $A_{1} D$ 与 $B C_{1}$ 垂直 C、直线 $A_{1} D$ 与 $B D_{1}$ 平行 D、直线 $A_{1} D$ 与 $B_{1} C$ 平行

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6、在空间中，若向量 $\vec{a} = (1, - 1, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{c} = (3, 3, m)$ 共面，则 $m =$ （）

A、4 B、2 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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7、已知三棱锥 $S - A B C$ ，点 $M$ 是棱 $S A$ 的中点，点 $N$ 是 $△ A B C$ 的重心，设 $\vec{S A} = \vec{a}$ ， $\vec{S B} = \vec{b}$ ， $\vec{S C} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{M N}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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8、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $150^{\circ}$ B、 $90^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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9、已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过原点 $O$ 的动直线 $l$ 交抛物线于另一点 $P$ ，交抛物线的准线于点 $Q$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $|P F| = 4$ ，则 $O$ 为线段 $P Q$ 中点 B、若 $|O P| = 4 \sqrt{3}$ ，则 $| P F | = 6$ C、存在直线 $l$ ，使得 $P F ⊥ Q F$ D、 $△ P F Q$ 面积的最小值为8

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10、若直线 $k x + y + k = 0$ 与曲线 $y = 1 + \sqrt{2 x - x^{2}}$ 仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（）

A、 $[- 1, - \frac{1}{3}) \cup \{0\}$ B、 $(- 1, - \frac{1}{3}) \cup \{0\}$ C、 $[- 1, - \frac{1}{3}] \cup \{- \frac{4}{3}\}$ D、 $(- 1, - \frac{1}{3}] \cup \{- \frac{4}{3}\}$

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11、已知球 $O$ 的直径为 $P C = 2 \sqrt{3}, A 、 B$ 是球面上两点，且 $P A = P B = \sqrt{3}, ∠ A P B = \frac{π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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12、已知双曲线的渐近线方程是 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线的离心率是.

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13、已知 $F$ 为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若 $|M N|$ 等于 $|P F|$ 的最小值的3倍，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4, ∠ A B C = 60 °$ ， E为 $C D$ 的中点．将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，连接 $B D$ 与 $C D$ ，如图2．

(1)、当 $B D$ 为何值时，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ?

(2)、设 $\vec{B F} = λ \vec{B D} (0 \leq λ \leq 1)$ ，当 $B E ⊥ D E$ 时，是否存在实数 $λ$ ，使得直线 $A F$ 与平面 $A B C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

(3)、当三棱锥 $B - C D E$ 的体积最大时，求三棱锥 $D - A B E$ 的内切球的半径．

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15、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为 $4$ 的正方形， $A A_{1} B_{1} B$ 为矩形， $A B = 3, B C = 5$ .

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面ABC；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值；

(3)、求点C到平面 $A_{1} C_{1} B$ 的距离.

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16、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + m x + n y + 1 = 0$ ，直线 $l_{1} : x - y - 1 = 0$ ， $l_{2} : x - 2 y = 0$ ，且直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 均平分圆 $C$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程

(2)、直线 $\sqrt{3} x + y + a - 2 \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $∠ M C N = 120^{\circ}$ ，求实数 $a$ 的值.

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17、两条平行直线 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 与 $a x + 8 y - 20 = 0$ 间的距离是．

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18、已知 $\vec{a} = (2, 2, 1), \vec{b} = (1, 0, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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19、对于直线 $l_{1} : a x + 2 y + 3 a = 0$ 和直线 $l_{2} : 3 x + (a - 1) y + 3 - a = 0$ ．以下说法正确的有（）

A、直线 $l_{2}$ 一定过定点 $(- \frac{2}{3}, 1)$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{2}{5}$ C、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = 3$ D、点 $P (1, 3)$ 到直线 $l_{1}$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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20、已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点E，F分别是直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} D_{1}$ 上的点，则线段EF长度的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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